函数极限

动机

如果取 ${\displaystyle \delta }$  为＂ ${\displaystyle x}$  与 ${\displaystyle a}$  差距的上限＂；类似地，取 ${\displaystyle \epsilon }$  为＂ ${\displaystyle f(x)}$  与 ${\displaystyle L}$  差距的上限＂，那根据直观，可以将函数极限定义为：

若对所有的 ${\displaystyle \delta >0}$  ，存在 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$ ，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  ，只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ 

其中 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$  是要确保 ${\displaystyle \delta }$  越来越小时， ${\displaystyle \epsilon }$  也会越来越小； ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  是为了凸显 ${\displaystyle x}$  是逼近而非等于 ${\displaystyle a}$  ，但对应的 ${\displaystyle f(x)}$  是可以等于 ${\displaystyle L}$  的。

但对于实函数 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  逼近 ${\displaystyle a=0}$  时，考虑到 ${\displaystyle \delta \geq 1}$  的部分；在 ${\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}}$  下是没有这样的 ${\displaystyle \epsilon }$  使得 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$  且 ${\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon }$  的，但数值上 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  的确在 ${\displaystyle a=0}$  时很靠近 ${\displaystyle 0}$  ，也就是 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$  的部分局限了定义能覆盖的范围。

上面的例子表明以 ${\displaystyle x}$  的变化去限制 ${\displaystyle f(x)}$  的变化通常是很困难的，但如果反过来从 ${\displaystyle \epsilon }$  出发，去找怎样的 ${\displaystyle x}$  会让 ${\displaystyle f(x)}$  与 ${\displaystyle L}$  的差距小于 ${\displaystyle \epsilon }$  ，也就是从＂若对所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$  存在 ${\displaystyle \delta >0}$  ＂出发的话，显然上面 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 的例子只要取 ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}}$  即可；而且在这个定义被满足的情况下，若进一步取 ${\displaystyle \epsilon }$  和 ${\displaystyle \delta }$  的最小值为 ${\displaystyle x}$  与 ${\displaystyle a}$  差距的上限，还是会有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ，这样就可以用 ${\displaystyle \epsilon }$  控制 ${\displaystyle x}$  的变化，而满足＂ ${\displaystyle x}$  趋近于 ${\displaystyle a}$  时 ${\displaystyle f(x)}$  趋近于 ${\displaystyle L}$  ＂的直观想法。

但实际上无法确保对所有 ${\displaystyle \delta >0}$ ，都有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  使得 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  ，所以定义函数极限之前必须要求 ${\displaystyle a}$  为 ${\displaystyle D_{f}}$  的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在 ${\displaystyle r>0}$  使得 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r}$  都有定义，也就是存在 ${\displaystyle a}$  的去心邻域使 ${\displaystyle f(x)}$  都有定义，这样的话 ${\displaystyle a}$  会自动成为 ${\displaystyle D_{f}}$  的极限点。

自变量趋于有限值时函数的极限

${\displaystyle f}$  为实函数， ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  为 ${\displaystyle D_{f}}$  的极限点且 ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$  ，若＂对所有的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ＂，或以正式的逻辑符号表述为

则以 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$  表示，称 ${\displaystyle L}$  为实函数 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle a}$  的极限。

自变量趋于无穷大时函数的极限

由于＂无穷大＂不能直接定义成定义域 ${\displaystyle D_{f}}$  的极限点，可以退而求其次假设＂对所有的 ${\displaystyle \delta >0}$  存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  使得 ${\displaystyle x>\delta }$  ＂。也就是直观上可以用定义域 ${\displaystyle D_{f}}$  里的点去逼近＂无穷大＂。那在这种条件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ ，且若＂对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  只要 ${\displaystyle x>\delta }$  时，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ＂，或以正式的逻辑符号表述为

则称 ${\displaystyle L}$  为实函数 ${\displaystyle f}$  于正无穷大（ ${\displaystyle \infty }$  ）的极限，记作 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$  类似的，若假设＂对所有的 ${\displaystyle \delta <0}$  存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  使得 ${\displaystyle x<\delta }$  ＂，那在这种条件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ ，且若＂对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta <0}$ ，使得对所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  只要 ${\displaystyle x<\delta }$  时，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ＂，或以正式的逻辑符号表述为

则称 ${\displaystyle L}$  为实函数 ${\displaystyle f}$  于负无穷大（ ${\displaystyle -\infty }$  ）的极限，记作${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}$ 

直观上来讲，从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限，为了把这个概念推广，需要函数限制的极限（也就是缩小定义域后的极限）：

上述定理的证明只须注意到 ${\displaystyle a}$  也必为 ${\displaystyle D_{f}}$  的极限点，然后把函数极限的定义展开，考虑到 ${\displaystyle A\cup B=D_{f}}$  ，还有对 ${\displaystyle x\in A}$  取 ${\displaystyle \delta _{A}}$  的和 ${\displaystyle x\in B}$  取的 ${\displaystyle \delta _{B}}$  ，那只要取 ${\displaystyle \delta }$  为 ${\displaystyle \delta _{A}}$  和 ${\displaystyle \delta _{B}}$  的最小值，对所有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  就有 ${\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)}$  ；反过来由原函数 ${\displaystyle f}$  推出 ${\displaystyle f|_{A}}$  和 ${\displaystyle f|_{B}}$  的状况是非常显然的。

左右极限

若取

${\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}$ 

${\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}$ 

如果假设 ${\displaystyle a}$  同时为 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  的极限点，那 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  显然符合上面定理的要求的，而这时

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}$ 

这个表达式会被别称为＂ ${\displaystyle L}$  是实函数 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle a}$  的右极限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$  表示。

类似的

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}$ 

这个表达式会被别称为＂ ${\displaystyle L}$  是实函数 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle a}$  的左极限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$  表示。

有理函数

以下公式中，${\displaystyle n>0,a>1}$ 。

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$ 

无理函数

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$ 

三角函数

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}$ 

指数函数

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$ 

对数函数

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }$