极值定理

我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f，也可推出f 的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

有界性定理的证明

假设函数f在区间[a,b]内连续且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个x_n（仼定的），使得f(x_n) > n。这便定义了一个序列{x_n}。

由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{x_n}的一个收敛的子序列${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$ 。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。因为f在x处连续，我们知道${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$ 收敛于实数f(x)。

但对于所有的k，都有${\displaystyle f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k}$ ，这意味着${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$ 发散于无穷大。

前者描述为收敛，后者描述为无穷大，得出矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。同理f在[a,b]内有下界。证毕。

极值定理的证明1

基本步骤为：

1. 寻找一个序列，它的像收敛于f 的最小上界。
2. 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
3. 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数f 在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f 有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f 的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f (d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是 f 的上界。因此，存在[a,b]内的d_n，使得M – 1/n < f (d_n)。这便定义了一个序列{d_n}。由于M是f 的一个上界，我们便有M – 1/n < f (d_n) ≤ M，对于所有的n。因此，序列${\displaystyle \{f(d_{n})\}}$ 收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列${\displaystyle \{d_{n_{k}}\}}$ ，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，${\displaystyle d\in [a,b]}$ 。因为f 在d 处连续，所以序列${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$ 收敛于f (d)。但${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$ 是${\displaystyle \{f(d_{n})\}}$ 的一个子序列，收敛于M，因此M = f (d)。所以，f 在d 处取得最小上界M。证毕。

极值定理的证明2

^[1] 设M是f 在区间[a,b]上的最小上界，我们要证明存在${\displaystyle d\in [a,b]}$ 使得${\displaystyle f(d)=M}$ 。我们使用反证法：如若不然，对任意 ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ，${\displaystyle f(x)\neq M}$ ，所以，对任意的${\displaystyle x\in [a,b]}$ ，${\displaystyle f(x)<M}$ 。我们考虑正值的函数

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.}$ 

因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于M是f (x)的最小上界，所以存在 ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ，使得f (x)可以无限地接近M，从而g(x)是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数g(x)来证明最大值能在某个d取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。

1. 定义在[0,∞)的函数f(x) = x没有上界。
2. 定义在[0,∞)的函数f(x) = x/(1 + x)有界，但不取得最小上界1。
3. 定义在(0,1]的函数f(x) = 1/x没有上界。
4. 定义在(0,1]的函数f(x) = 1 –x有界，但不取得最小上界1。

如果把f的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地：

定理：如果函数f : [a,b] → [–∞,∞)是上半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$ ，

那么f有上界，且取得最小上界。

证明：如果对于[a,b]内的所有x，都有f(x) = –∞，那么最小上界也是–∞，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，f在x处的半连续性只意味着子序列${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$ 的上极限有上界f(x) < ∞，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，f在d处的半连续性意味着子序列${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$ 的上极限有上界f(d)，但这已足以推出f(d) = M的结论。证毕。

把这个结果应用于−f，可得：

定理：如果函数f : [a,b] → (–∞,∞]是下半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$ 

那么f有下界，且取得最大下界。

一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。

• Parzynski, William R. Introduction to Mathematical Analysis. McGraw-Hill, Inc. 1982: 102-104. 
• Michael Spivak. Calculus. Cambridge University Press. 2006. 

• cut-the-knot上极值定理的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Boundedness Theorem. PlanetMath. 
• Extreme Value Theorem. PlanetMath. 
• 埃里克·韦斯坦因. 极值定理. MathWorld.