泡利矩阵

三个泡利矩阵可以共同用一种单一形式表达：

${\displaystyle \sigma _{a}={\begin{bmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{bmatrix}}}$ 

其中δ_ab是克罗内克δ函数。当a=b时，其值为1；当a≠b时，其值为0。

本征值和本征向量

这些矩阵是对合的：

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I}$ 

其中I是单位矩阵。

此外，泡利矩阵的行列式和它们的迹分别为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\sigma _{i})&=-1\\\operatorname {tr} (\sigma _{i})&=0\end{aligned}}}$ 

故从上述关系可以推得每个泡利矩阵σ_i的本征值分别为±1。

每个泡利矩阵有两个本征值，+1和−1，其对应的归一化本征向量为：

${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}}&\psi _{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix}}\\\psi _{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{-i}\\{1}\end{bmatrix}}&\psi _{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-i}\end{bmatrix}}\\\psi _{z+}=&{\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}}&\psi _{z-}=&{\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}}\end{array}}}$ 

泡利向量

泡利向量定义为：

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}$ 

这个定义提供了将一般向量基底对应到泡利矩阵的基底的机制

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}\\&=a_{i}\sigma _{i}\end{aligned}}}$ 

相同的下标是使用了爱因斯坦求和约定。此外：

${\displaystyle \det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2}}$ 。

对易关系

泡利矩阵有以下的对易关系：

${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\,,}$ 

以及以下的反对易关系。

${\displaystyle \{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\,I}$ 。

其中ε_abc是列维-奇维塔符号，δ_ab是克罗内克函数，是I是2 ×2的单位矩阵。而一样的，上面使用了爱因斯坦求和约定。

和内积、外积的关系

将泡利矩阵的对易和反对易相加得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned}}}$ 

因此可得：

${\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+\delta _{ab}I}$ 

为了避免符号重复，将a, b, c改成p, q, r，然后把上式和三维向量a_p和b_q内积，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{p}b_{q}\sigma _{p}\sigma _{q}&=a_{p}b_{q}\left(i\sum _{r}\varepsilon _{pqr}\,\sigma _{r}+\delta _{pq}I\right)\\a_{p}\sigma _{p}b_{q}\sigma _{q}&=i\sum _{r}\varepsilon _{pqr}\,a_{p}b_{q}\sigma _{r}+a_{p}b_{q}\delta _{pq}I\end{aligned}}}$ 

将它变换成向量积的表达式：

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}}$ 

泡利向量的指数

令${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}}$ ，而且${\displaystyle |{\hat {n}}|=1}$ 对于偶数n可得：

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,}$ 

另外加上之前求得在n = 1的情况可在n为奇数的情况：

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,}$ 

利用矩阵指数的概念，加上正弦和余弦的泰勒级数展开式，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}\left[a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=I\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}}+i{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)\\\end{aligned}}}$ 

第一项的总和为${\displaystyle \cos {a}}$ ，第二项括号里的总和是${\displaystyle \sin {a}}$ ，于是：

${\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,}$

(2)

这可以看做是欧拉公式的类比。

完备性关系

另一个常用来区别泡利矩阵的方法是用上标i，用不同的i来代表不同的泡利矩阵，而下标则代表不同的矩阵元素。因此第i个泡利矩阵的第α行第β列的元素可表示为σ ⁱ_αβ

利用这种表示方法，泡利矩阵的完备性关系可写作：

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{i=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \delta }\ }$ 

有时习惯上将2×2单位举写成σ₀，也就是，σ⁰_αβ = δ_αβ。如此一来完备性关系可以更为简洁的表示成：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }\,}$ 

和换位算符的关系

令算符P_ij为换位算符（或称为排列算符）。对于两个在张量积空间ℂ² ⊗ ℂ²中的自旋σ_i和σ_j该算符有：

${\displaystyle P_{ij}|\sigma _{i}\sigma _{j}\rangle =|\sigma _{j}\sigma _{i}\rangle \,}$ 

的关系。这个算符可以更进一步的用泡利矩阵来表示：

${\displaystyle P_{ij}={\tfrac {1}{2}}({\vec {\sigma }}_{i}\cdot {\vec {\sigma }}_{j}+1)\,}$ 

该算符有两个本征值，分别1和-1，这个算符可以用于代表某些哈密顿量的相互作用项，产生对称和反对称的本征态分裂的效果。

四元数与泡利矩阵

{I, iσ₁, iσ₂, iσ₃}的实数张成与四元数ℍ的实代数同构，可透过下列映射得到对应关系（注意到泡利矩阵的负号）：

${\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}.}$ 

另外一种方式的映射为将泡利矩阵的次序反转^[2]

${\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto i\sigma _{1}.}$ 

既然单位四元数与SU(2)为群同构，此亦代表泡利矩阵也可用来描述SU(2)。从SU(2)到SO(3)的2对1同态性，也可以用泡利矩阵来表述。

四元数构成可除代数——所有非零元素皆有逆元，然而泡利矩阵并非如此。泡利矩阵生成的代数的四元数版，参见复四元数，其共有8个实维度。

• 四元数
• 泡利方程
• 庞加莱群
• 盖尔曼矩阵
• 代数几何

延伸阅读

• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5. 
• Schiff, Leonard I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill. 1968. ISBN 978-0070552876. 
• Leonhardt, Ulf. Essential Quantum Optics. Cambridge University Press. 2010. ISBN 0-521-14505-8.