泡利方程

一自旋粒子具有质量m、电荷q，于外加电磁场中运动；外加电磁场可以标势ϕ、矢势A = (A_x, A_y, A_z)来描述。泡利方程可描述外加电磁场与自旋相互作用的影响：

泡利方程 （广义形式） ${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

其中

${\displaystyle \mathbf {p} }$ 为动量算符（p = −iħ∇，∇为梯度算符），

${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ 为泡利矩阵，

${\displaystyle |\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}}$ 为泡利旋量。

两个旋量分量都满足薛定谔方程

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$ ，

这表示系统是有额外但简并的的自由度。

另可看出泡利方程的哈密顿算符为：

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi }$ 

因泡利矩阵的存在，此哈密顿算符为2 × 2矩阵算符。泡利方程的哈密顿算符形似于带电粒子在电磁场中的经典哈密顿算符，但后者没有考虑到自旋。

泡利矩阵可以从动能项中移出，只要使用泡利矩阵的关系式：

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$ 

将p = −iħ∇代入，可得到^[1]

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi }$ 

其中B = ∇ × A，即磁场。

泡利方程可分拆为两项：

泡利方程 （磁场B） ${\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}}$

同上述，

${\displaystyle |\psi _{\pm }\rangle }$ 为泡利旋量，

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ 为泡利矩阵所构成的泡利向量，

B为外加磁场，与磁矢势A的关系为：${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ ，

而

${\displaystyle {\hat {1}}}$ 为二阶单位矩阵${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ 。

左半部为薛定谔方程（上式Schrödinger equation），右半部施特恩-格拉赫项（上式Stern-Gerlach term）。如此可解释带有一个价电子的原子何以得到得到自旋取向，例如流过不均匀磁场的银原子。相似地，比如在反常塞曼效应，这一项造成磁场中的谱线（对应到能级）分裂。

泡利方程为非相对论性的量子力学方程，但其能描述自旋相关的行为，因此其具有薛定谔方程与狄拉克方程的中介角色：

• 常见的薛定谔方程（作用于复标量波动方程），非相对论性，也无法描述自旋。
• 狄拉克方程（作用于复数四分量旋量），完整地考虑了相对论效应，可描述自旋。

注意到：若磁矢势A为零，泡利方程则约化为一个在纯电势ϕ中运动的带电粒子之薛定谔方程：

${\displaystyle \left[{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}}$ 

但因为泡利矩阵的存在，此方程是作用在二分量旋量上的。因此仅当磁场存在时，粒子自旋才会对粒子的运动发挥影响。

• （英文）The Schrödinger-Pauli Hamiltonian （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）The relativistic Pauli equation （页面存档备份，存于互联网档案馆）