三次方程

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。^[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如${\displaystyle x^{3}+mx=n}$ 的方程。事实上，如果我们允许${\displaystyle m,n}$ 是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程式解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。

当${\displaystyle \Delta >0}$ 时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当${\displaystyle \Delta =0}$ 时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当

时，方程的三个实根中有两个相等；

当${\displaystyle \Delta <0}$ 时，方程有三个不等的实根。

求根公式法

红色字体部分为判别式${\displaystyle \Delta }$ 。

当${\displaystyle \Delta >0}$ 时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当${\displaystyle \Delta =0}$ 时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当

时，方程的三个实根中有两个相等；

当${\displaystyle \Delta <0}$ 时，方程有三个不等的实根。

三角函数解

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ ，其中${\displaystyle a\neq 0}$ 。

若令${\displaystyle \Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0}$ ，则

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}}{3}}\right]}$ 

${\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}+2\pi }{3}}\right]}$ 

${\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}-2\pi }{3}}\right]}$ 

卡尔达诺法

令${\displaystyle K}$ 为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根${\displaystyle r}$ ，然后把方程${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ 除以${\displaystyle x-r}$ ，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。

在一个代数封闭域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。

解方程步骤：

• 把原来方程除以首项系数${\displaystyle a\left(a\neq 0\right)}$ ，得到：

${\displaystyle x^{3}+b'x^{2}+c'x+d'=0}$ ，其中${\displaystyle b'={\frac {b}{a}}}$ ，${\displaystyle c'={\frac {c}{a}}}$ ，${\displaystyle d'={\frac {d}{a}}}$ 。

• 代换未知项${\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}$ ，以消去二次项。当展开${\displaystyle \left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{3}}$ ，会得到${\displaystyle -b'z^{2}}$ 这项，正好抵消掉出现于${\displaystyle b'\left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{2}}$ 的项${\displaystyle b'z^{2}}$ 。故得：

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$ ，其中${\displaystyle p}$ 和${\displaystyle q}$ 是域中的数字。

${\displaystyle p=c'-{\frac {b'^{2}}{3}}}$ ；${\displaystyle q={\frac {2b'^{3}}{27}}-{\frac {b'c'}{3}}+d'}$ 。

• 设${\displaystyle u,v}$ 满足${\displaystyle 3uv=-p,u^{3}+v^{3}=-q}$ ,则${\displaystyle u+v}$ 为解

这个假设的hint如下:

记${\displaystyle z=u+\upsilon }$ 。前一方程化为${\displaystyle (u+\upsilon )^{3}+p(u+\upsilon )+q=0}$ 。

展开：${\displaystyle u^{3}+3u^{2}\upsilon +3u\upsilon ^{2}+\upsilon ^{3}+pu+p\upsilon +q=0}$ 。

重组：${\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(3u\upsilon ^{2}+3u^{2}\upsilon +pu+p\upsilon )=0}$ 。

分解：${\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(u+\upsilon )(3u\upsilon +p)=(u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+z(3u\upsilon +p)=0}$ 。

• 设${\displaystyle U=u^{3}}$ 和${\displaystyle V=\upsilon ^{3}}$ 。我们有${\displaystyle U+V=-q}$ 和${\displaystyle UV=-{\frac {p^{3}}{27}}}$ 因为${\displaystyle UV=(u\upsilon )^{3}=(-{\frac {p}{3}})^{3}}$ 。所以${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 是辅助方程${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+q\mathrm {X} -{\frac {p^{3}}{27}}=0}$ 的根，可代一般二次方程公式得解。

接下来，${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ 是${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 的立方根，适合${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}$ ，${\displaystyle z=u+v}$ ，最后得出${\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}$ 。

在域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 里，若${\displaystyle u_{0}}$ 和${\displaystyle v_{0}}$ 是立方根，其它的立方根就是${\displaystyle \omega u_{0}}$ 和${\displaystyle \omega ^{2}u_{0}}$ ，当然还有${\displaystyle \omega v_{0}}$ 和${\displaystyle \omega ^{2}v_{0}}$ ，其中${\displaystyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$ ，是1的一个复数立方根。

因为乘积${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}$ 固定，所以可能的${\displaystyle (u,v)}$ 是${\displaystyle (u_{0},v_{0})}$ ，${\displaystyle (\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})}$ 和${\displaystyle (\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})}$ 。因此三次方程的其它根是${\displaystyle \omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b'}{3}}}$ 和${\displaystyle \omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b'}{3}}}$ 。

判别式

最先尝试解的三次方程是实系数（而且是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在${\displaystyle \mathbb {C} }$ 里，就是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的代数闭包。其中差异出现于${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。

可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式${\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$ ，

• 若${\displaystyle \Delta >0}$ ，方程有一个实根和两个共轭复根；
• 若${\displaystyle \Delta =0}$ ，方程有三个实根：当${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}=0}$ 时，方程有一个三重实根；当${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}\neq 0}$ 时，方程的三个实根中有两个相等；
• 若${\displaystyle \Delta <0}$ ，方程有三个不等的实根：${\displaystyle x_{1}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta }{3}}-{\frac {b}{3a}},x_{2,3}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta \pm 2\pi }{3}}-{\frac {b}{3a}},}$ 其中${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {R}{Q{\sqrt {Q}}}},Q=-{\frac {p}{3}},R={\frac {q}{2}}}$ （注意，由于此公式应对于${\displaystyle x^{3}+px=q}$ 的形式，因此这里的${\displaystyle q}$ 实际上是前段的${\displaystyle -q}$ ，应用时务必注意取负号即${\displaystyle R=-{\frac {q}{2}}}$ ）。

注意到实系数三次方程有一实根存在，这是因为非常数多项式在${\displaystyle +\infty }$ 和${\displaystyle -\infty }$ 的极限是无穷大，对奇次多项式这两个极限异号，又因为多项式是连续函数，所以从介值定理可知它在某点的值为0。

第一个例子

解${\displaystyle 2t^3+6t^2+12t+10=0}${\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0}  。

我们依照上述步骤进行：

• ${\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0}$ （全式除以${\displaystyle 2}$ ）
• 设${\displaystyle t=x-1}$ ，代换：${\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0}$ ，再展开${\displaystyle x^{3}+3x+1=0}$ 。
• ${\displaystyle x=u+v}$ ，${\displaystyle U=u^{3}}$ ，${\displaystyle V=v^{3}}$ 。设${\displaystyle U+V=-1}$ 和${\displaystyle UV=-1}$ 。${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 是${\displaystyle X^{2}+X-1=0}$ 的根。

${\displaystyle U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}$ 和${\displaystyle V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ，

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}}$ 和${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}}$ 。

${\displaystyle t=x-1=u+v-1}$ ，

${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1.3221853546}$ 

该方程的另外两个根：

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是${\displaystyle x^{3}-15x-4=0}$ 。

从函数${\displaystyle x\mapsto x^{3}-15x-4}$ 算出判别式的值${\displaystyle \Delta =-13068<0}$ ，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：${\displaystyle x=u+v}$ ，${\displaystyle U=u^{3}}$ ，${\displaystyle V=v^{3}}$ 。

${\displaystyle U+V=4}$ 和${\displaystyle UV=125}$ 。

${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 是${\displaystyle X^{2}-4X+125=0}$ 的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出${\displaystyle U=2-11{\mathrm {i} }}$ 和${\displaystyle V=2+11{\mathrm {i} }}$ 。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设${\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} }}$ 。

${\displaystyle u^{3}=2-11{\mathrm {i} }}$ 等价于：

${\displaystyle a^{3}-3ab^{2}=2}$ （实部）

${\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=-11}$ （虚部）

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5}$ （模）

得到${\displaystyle a=2}$ 和${\displaystyle b=-1}$ ，也就是${\displaystyle u=2-{\mathrm {i} }}$ ，而${\displaystyle v}$ 是其共轭：${\displaystyle v=2+{\mathrm {i} }}$ 。

归结得${\displaystyle x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4}$ ，可以立时验证出来。

其它根是${\displaystyle x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}}$ 和${\displaystyle x''=j^{2}(2-{\mathrm {i} })+j(2+{\mathrm {i} })=-2-{\sqrt {3}}}$ ，其中${\displaystyle j={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$ 。

当${\displaystyle \Delta }$ 是负，${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 共轭，故此${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ 也是（要适当选取立方根，记得${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}$ ）；所以我们可确保${\displaystyle x}$ 是实数，还有${\displaystyle x'}$ 和${\displaystyle x''}$ 。

盛金公式法

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}$ ，其中系数皆为实数。

判别式

重根判别式：${\displaystyle A=b^{2}-3ac,\ B=bc-9ad,\ C=c^{2}-3bd}$ ；

总判别式：${\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}$ 。

情况1：${\displaystyle A=B=0}$ 

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\frac {-b}{3a}}={\frac {-c}{b}}={\frac {-3d}{c}}}$ 。

情况2：${\displaystyle \Delta >0}$ 

让${\displaystyle y_{1,2}=Ab+3a\left({\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2}}\right)}$ ，得：

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)}{3a}}}$ ；

${\displaystyle x_{2}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)+{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}$ ；

${\displaystyle x_{3}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)-{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}$ 。

情况3：${\displaystyle \Delta =0}$ 

让${\displaystyle k={\frac {B}{A}}\ (A\neq 0)}$ ，得：

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b}{a}}+k}$ ；

${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {-k}{2}}}$ 。

情况4：${\displaystyle \Delta <0}$ 

让${\displaystyle t={\frac {2Ab-3aB}{2A{\sqrt {A}}}}\ (A>0,-1<t<1),\theta =\arccos t}$ ，得：

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-2{\sqrt {A}}\cos {\frac {\theta }{3}}}{3a}}}$ ；

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}}$ ；

${\displaystyle x_{3}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}}$ 。

驻点的公式

设${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ 

将其微分，可得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=3ax^{2}+2bx+c}$ 

• 有序列表项

拐点

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6ax+2b}$ 

设${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$ ，可得${\displaystyle y}$ 。

${\displaystyle x=-{\frac {b}{3a}}}$ 

驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知：
${\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})<0}$ ，${\displaystyle x_{e}}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 的极大值点；
${\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})>0}$ ，${\displaystyle x_{e}}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 的极小值点；
${\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})=0}$ ，${\displaystyle x_{e}}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 的拐点。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6ax+2b=2(3ax+b)}$ 可知：
${\displaystyle 3ax_{e}+b<0}$ ，${\displaystyle y}$ 的驻点为极大值点；
${\displaystyle 3ax_{e}+b>0}$ ，${\displaystyle y}$ 的驻点为极小值点；
${\displaystyle 3ax_{e}+b=0}$ ，${\displaystyle y}$ 的驻点为拐点。

• 三次方程的计算机 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 代数学的故事：三次方程的一般解（页面存档备份，存于互联网档案馆），李白飞
• 三次方程的判别式（页面存档备份，存于互联网档案馆），应用（页面存档备份，存于互联网档案馆），Carto Wong
• 以复变函数求解一元三次方程式的根（页面存档备份，存于互联网档案馆）