双曲群

群上的一个度量称为左不变度量，如果群中任何两个元素，被另外任一个元素左乘后，其间的距离仍保持不变。如果一个群有一个左不变度量，使得这个群按度量空间而言，是一个格罗莫夫双曲空间，就称之为双曲群。

双曲群中以字双曲群最为常见。提到双曲群时，通常就是指字双曲群。一个有限生成群称为字双曲群（word hyperbolic group），如果群中有由某有限生成集赋予的字度量，令其成为格罗莫夫双曲空间。换言之，取群中一个有限生成集合，将对应的凯莱图每条边长都定为1，那么这个凯莱图是格罗莫夫双曲空间。只要有对应某个有限生成集合的字度量有此性质，那么对应任何有限生成集合的字度量，都会有相同性质。这是因为对应各个有限生成集合的字度量，都是拟等距同构的，而格罗莫夫双曲性，在拟等距映射下不变。

• 有限群
• 逼肖循环（virtually cyclic）群
• 有限生成自由群，更一般的凡是作用在局部有限树上并有有限稳定子群的群。
• 曲面群差不多都是双曲群，确切而言任何欧拉特征为负的闭曲面，基本群都是双曲群。
• 三角形群\triangle(l,m,n)差不多都是双曲群，确切而言凡是1/l + 1/m + 1/n < 1的三角形群都是双曲群，例如(2,3,7)三角形群。
• 有严格负曲率的紧致黎曼流形的基本群
• 余紧致及真不连续地作用在正态（proper）CAT(k)空间上且k < 0的群是双曲群。这一类群包含所有上述例子，且给出与流形或树无关的双曲群。

• Mikhail Gromov: Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.