例子
考虑整数群 。若取生成集合 ,那么两个整数 之间的字度量是 。
若取另一个生成集合 ,则 和 之间的字度量 ,因为 用 所能表示成的最短的字(3-2或-2+3)的长度为2。
性质
从字度量的定义可以看出,群于自身的左乘作用 下,字度量不变:
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(因为 。)
一个群 给出不同的生成集合,对应的字度量可以不同。不过,如果 是有限生成的,则两个有限的生成集合 所给出的字度量是双利普希茨的,即存在常数 使得对任何 都有
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证明如下: 中的各元素用 表示成的字,其中最长的长度设为 。那么每个用 表示成的字,都可用 改写成不超过 倍的长度的字。故此
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同样地,有
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取 为 和 的较大者,得出不等式。
参考
- ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.