字度量

群论中,字度量是在上的一种度量,就是一个方法去量度群中两个元素之间的距离。给出群生成集,每个元素都可以用写成很多个不同的字。例如设是所有整数组成的群,取,3就可以写成1+1+1,或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每个字用了多少个的元素,这就是字的长度,例如1+1+1的长度是3,-1+1+1-1+1+1+1的长度是7。可以用英文字来比喻:英文字的生成集是英文字母,字的长度就是字母的数目,如colour的长度是6,color的长度是5。

两个元素字度量定义为表示成的最短的的长度。

两个元素的字度量,等于凯莱图中这两个元素的距离。[1]

例子

考虑整数群 。若取生成集合 ,那么两个整数 之间的字度量是 

若取另一个生成集合 ,则  之间的字度量 ,因为  所能表示成的最短的字(3-2或-2+3)的长度为2。

性质

从字度量的定义可以看出,群于自身的左乘作用 下,字度量不变:

 

(因为 。)

一个群 给出不同的生成集合,对应的字度量可以不同。不过,如果 是有限生成的,则两个有限的生成集合 所给出的字度量是双利普希茨的,即存在常数 使得对任何 都有

 

证明如下: 中的各元素用 表示成的字,其中最长的长度设为 。那么每个用 表示成的字,都可用 改写成不超过 倍的长度的字。故此

 

同样地,有

 

   的较大者,得出不等式。

参考

  1. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.