在数论中,赋值向量环或阿代尔环(法文:adèle,英译多用原文)是由一个域 的所有完备化构成的拓扑环 ,原域 可以对角方式嵌入其中。
在现代代数数论中,赋值向量环是处理整体问题的基本语言。
法文原文 adèle 是 idèle additif 的缩写,其中 idèle 意指理想元(élément idéal)。adèle 也是法文中常见的女性名字。
定义
设 为整体域,例如有理数域 、一般的数域或函数域 等等。设 为其中的代数整数环。对于所有 上的赋值 (又称位),可定义相应的完备化 。在此,通常将赋值分为有限与无限两类:
- 有限赋值:一一对应于 的素理想,两两不相等价。其中的赋值环记为 。
- 无限赋值: 上的阿基米德赋值。对于数域,无限赋值系由域的嵌入 给出,两个嵌入 给出等价赋值的充要条件是其间至多差一个复共轭: 。无限赋值的个数有限。
有时也以素理想的惯用符号 表示赋值,并以 表示 为无穷赋值。
定义
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上式的积称为限制积,这是 的子环,我们要求对其中的每个元素 ,存在包含所有无穷赋值的有限集 ,使得 。赋予 相应的子空间拓扑,是为赋值向量环。
的拓扑由在 点的一组局部基确定,可取下述形式之开集:
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其中 是函括所有无限赋值的有限集, 是 的开子集。根据吉洪诺夫定理可知 为局部紧拓扑环,这是采限制积定义的原因之一。
性质
- 对角嵌入 的像落在 ,可证明 构成 的离散子集,而商群 是紧群。
- 固定 的任一特征标 ,则任何特征标 皆可唯一地表示成 ,是故加法群 是其自身的对偶群。这是在赋值向量环上开展调和分析的关键之一。
应用
赋值向量环主要用于代数数论中。对于 上的代数群 ,可考虑其上的 点 。由于代数群总是线性的(换言之,可嵌入 ), 可以具体设想为系数布于环 上的线性群,并带有自然的拓扑结构。
最简单的情形是 ,此时 称为 idèle 群,这是整体类域论的基石。在郎兰兹纲领中,须考虑更广泛的代数群,以描述数域的绝对伽罗瓦群。
文献
- J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2