同伦

给定两个拓扑空间 ${\displaystyle X\,\!}$  和 ${\displaystyle Y\,\!}$ 。考虑两个连续函数 ${\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ ，若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 ${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$  使得：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$ 
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$ 

则称${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle f,\,g}$ 之间的一个同伦^[1]:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一种观点是：对每个${\displaystyle x\in X\,\!}$ ，函数 ${\displaystyle H\,\!}$  定义一条连接 ${\displaystyle f(x)\,\!}$  与 ${\displaystyle g(x)\,\!}$ 的路径：

${\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}$ 

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系^[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例一：取 ${\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}$ , ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$ , ${\displaystyle f(x)=1\,\!}$  及 ${\displaystyle g(x)=-1\,\!}$ 。则${\displaystyle f\,\!}$  与 ${\displaystyle g\,\!}$  透过下述函数在 ${\displaystyle Y\,\!}$  中同伦。

${\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}$ 

（注意到此例子不依赖于变量 ${\displaystyle x}$ ，通常并非如此。）

注：“在${\displaystyle Y}$ 中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$ 代为子空间${\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}$ ，则虽然${\displaystyle f\,\!}$  与 ${\displaystyle g\,\!}$ 仍取值在${\displaystyle Y'\,\!}$ ，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。

例二：取${\displaystyle X=[0,1]\,\!}$ ,${\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}$ ,${\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}$  及 ${\displaystyle g(x)=0\,\!}$ 。则${\displaystyle f\,\!}$ 描绘一个以原点为圆心的单位圆； ${\displaystyle g\,\!}$ 停在原点。${\displaystyle f\,\!}$  与 ${\displaystyle g\,\!}$  透过下述连续函数同伦：

${\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}$ 

几何上来看，对每个值${\displaystyle t\,\!}$ ，函数${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$ 描绘一个以原点为圆心，半径 ${\displaystyle 1-t}$  的圆。

为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$ 是连续函数，固定子空间 ${\displaystyle K\subset X}$ ；若存在前述同伦映射 ${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$ ，满足：

• ${\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}$ 
• ${\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}$ 

则称 ${\displaystyle f,g}$  相对于 ${\displaystyle K}$  同伦。若取 ${\displaystyle K=\emptyset }$ ，则回到原先的同伦定义。

给定两个拓扑空间${\displaystyle E\,\!}$  与 ${\displaystyle F\,\!}$ ，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射${\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}$ 与${\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}$ ，使得：

• ${\displaystyle g\circ f\,\!}$  同伦到 ${\displaystyle E\,\!}$  的恒等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ 。
• ${\displaystyle f\circ g\,\!}$  同伦到 ${\displaystyle F\,\!}$  的恒等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$ 。

同胚蕴含同伦，反之则不然，详见以下例子：

例三：

• 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}$ ，即去掉一点的平面。
• 线段${\displaystyle [a,b]\,\!}$ 、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。

同痕（Isotopy）是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数${\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$  和 ${\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$  是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。

定义如此：${\displaystyle f\,\!}$  与 ${\displaystyle g\,\!}$ 被称为同痕的，当且仅当存在连续映射${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$ 使之满足：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$ 
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$ 
• 对所有${\displaystyle t\in [0,1]\,\!}$ ，映射${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$ 是个嵌入映射。

同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。

• Homeotopy（英语：Homeotopy）
• 庞加莱猜想
• 同伦范畴
• 同伦类型论
• 纤维-同伦等价（英语：Fiber-homotopy equivalence）
• 映射类群（英语：Mapping class group）
• 正则同伦（英语：Regular homotopy）