同伦范畴

在应用上，我们常须考虑空间中的特定一点，称为该空间的基点。指定了基点的拓扑空间称为带基点的空间。严格而言，同伦群（例如基本群）的定义依赖于基点，不同的选择会差一个同构。

我们可以考虑带点空间构成的范畴，其对象为 ${\displaystyle (X,x)}$ （${\displaystyle x\in X}$ ），态射 ${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y)}$  为满足 ${\displaystyle f(x)=y}$  的连续映射。同理，可以定义带点映射之间的同伦 ${\displaystyle h:X\times I\to Y}$  为满足 ${\displaystyle h(x,t)=y}$  的同伦。由此得到的商范畴称为带点同伦范畴，常记为 ${\displaystyle \mathbf {hTop} _{\bullet }}$ ，态射集记为 ${\displaystyle [X,Y]_{\bullet }}$ 。

在处理带基点的空间时，空间的积与不交并都要作相应的改变。

同伦理论中有一些适用于所有空间的一般结果，但随着理论渐深，往往需要考虑更小的一类空间。CW复形适用于大部分的问题，它的好处之一体现于布朗表示定理，缺陷则在于CW复形之间的函数空间不一定是CW复形，针对后者，紧生成豪斯多夫空间更富弹性，它包括了所有CW复形、局部紧空间与第一可数空间（例如度量空间）。

近来同伦理论发展的一个里程碑是谱空间，这可以说是一种适用于拓扑学的导范畴观念。以模型范畴的方法也可以定义谱，这推广了拓扑空间的情形，但较为抽象。

• J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9