舒尔正交关系

令 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}}$  是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群 ${\displaystyle G=\{R\}}$  的一个不可约矩阵表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$  的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$  是酉的：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}$ 

这里 ${\displaystyle l_{\lambda }}$  是表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$  的（有限）维数^[1]。

正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.}$ 

这里 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}}$  是 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,}$  的复共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}}$ ，则克罗内克函数 ${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$  是单位；如果 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$  与 ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}}$  不等价则${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$ 为零。其他两个克罗内克函数则要求行与列的指标必须相等（${\displaystyle n=n'}$  和 ${\displaystyle m=m'}$ ）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0}$ 

对 ${\displaystyle n,m=1,\ldots ,l_{\mu }}$  ，此式对任何不等于单位表示的不可约表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,}$ 成立。

例子

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 ${\displaystyle S_{3}}$ （对称群）。这个群同构于点群 ${\displaystyle C_{3v}}$ ，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在 ${\displaystyle S_{3}}$  情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 ${\displaystyle \lambda =[2,1]}$  而在 ${\displaystyle C_{3v}}$  情形通常写成 ${\displaystyle \lambda =E}$ 。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素^[2]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}}$ 

元素 (1,1) 的正规化为：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}$ 

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}$ 

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

直接推论

矩阵的迹是对角矩阵元素之和，

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}}$ .

所有迹的集合 ${\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}}$  是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 ${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}}$ 

${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right)}$ .

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,}$ 

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}$ 

这帮助我们确认不可约表示 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$  在具有特征标 ${\displaystyle \chi (R)}$  的可约表示 ${\displaystyle \Gamma \,}$  中包含的次数。

例如，如果

${\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}$ 

这个群的阶是

${\displaystyle |G|=24\,}$ 

则 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,}$  在给定“可约”表示 ${\displaystyle \Gamma \,}$  中包含的次数是

${\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}$ 

关于群特征表参见特征标理论。

有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 ${\displaystyle G}$  有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 ${\displaystyle dg}$ 。设 ${\displaystyle (\pi ^{\alpha })}$  是 ${\displaystyle G}$  的不可约表示的一个完备集合，设 ${\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=<v,\pi ^{\alpha }(g)w>}$  是表示 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$  的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }}$  则：

${\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}$ 

2)如果 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$  是表示空间 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$  的一个正交规范基，则：

${\displaystyle d^{\alpha }\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g)\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}}$ 

这里 ${\displaystyle d^{\alpha }}$  是 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$  的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

例 ${\displaystyle SO(3)}$ 

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： ${\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ 。界限是 ${\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi }$  以及 ${\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi }$ 。

体积元素 ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}}$  的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )}$  的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 ${\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,}$ ，而 n, ψ 参数化给出权重t ${\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,}$ ，其中 ${\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi }$ 。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.}$ 

简记成

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}$ 

正交关系具有形式

${\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},}$ 

群的体积是

${\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.}$ 

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix）${\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )}$ ，它们的维数是 ${\displaystyle 2\ell +1}$ 。故

${\displaystyle |SO(3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}$ 

它们满足

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}$ 

脚注

任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：

• M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
• W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
• J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).