群上同调

群论中的指导思想之一，是研究群 ${\displaystyle G}$  及其表示的关系。群 ${\displaystyle G}$  的表示是 ${\displaystyle G}$ -模的特例：一个 ${\displaystyle G}$ -模是一个阿贝尔群 ${\displaystyle M}$  配上 ${\displaystyle G}$  在 ${\displaystyle M}$  上的群作用 ${\displaystyle G\to \mathrm {End} (M)}$ 。等价的说法是：${\displaystyle M}$  是群环 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$  上的模。通常将 ${\displaystyle G}$  的作用写成乘法 ${\displaystyle m\mapsto gm}$ 。全体 ${\displaystyle G}$ -模自然地构成一个阿贝尔范畴。

对给定的 ${\displaystyle G}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，最重要的子群之一是其 ${\displaystyle G}$ -不变子群

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .}$ 

若 ${\displaystyle N\subset M}$  是一个 ${\displaystyle G}$ -子模（即：是 ${\displaystyle M}$  的子群，且在 ${\displaystyle G}$  的作用下不变），则 ${\displaystyle M/N}$  上赋有自然的 ${\displaystyle G}$ -模结构，${\displaystyle N^{G}\subset M^{G}}$ ，但是未必有 ${\displaystyle (M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}}$ 。第一个群上同调群 ${\displaystyle H^{1}(G,N)}$  可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 ${\displaystyle H^{n}(G,-)}$ ，其间关系可以由长正合序列表示。

以下假设 ${\displaystyle G}$  为有限群，全体 ${\displaystyle G}$ -模构成阿贝尔范畴，其间的态射 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{G}(M,N)}$  定义为满足 ${\displaystyle f(gx)=gf(x)}$  的群同态 ${\displaystyle f:M\to N}$ 。由于此范畴等价于 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ -模范畴，故有充足的内射对象。

函子 ${\displaystyle M\to M^{G}}$  是从 ${\displaystyle G}$ -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$  为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：

• ${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}}$ 
• 长正合序列：若 ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$  为 ${\displaystyle G}$ -模的短正合序列，则导出相应的长正合序列

${\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots }$ 

在上述定义中，若固定一个域 ${\displaystyle k}$ ，并以 ${\displaystyle k[G]}$  代替 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ，得到的上同调群依然同构。

导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到 ${\displaystyle M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ，其中 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  被赋予平凡的 ${\displaystyle G}$  作用：${\displaystyle gx=x}$ ，故群上同调可以用Ext函子表达为

${\displaystyle H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)}$ 

另一方面，${\displaystyle G}$ -模范畴中也有充足的射影对象，若取一 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  的射影分解 ${\displaystyle 0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }}$ ，则有自然的同构 ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))}$ 。最自然的分解是标准分解

${\displaystyle L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})}$ 

${\displaystyle g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})}$ 

${\displaystyle d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})}$ 

而 ${\displaystyle L_{0}\to \mathbb {Z} }$  由 ${\displaystyle g_{0}\mapsto 1}$  给出。

定义 ${\displaystyle K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)}$ ，其元素为形如 ${\displaystyle f:G^{i+1}\mapsto M}$  的函数，并满足 ${\displaystyle f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})}$ ，称之为齐次上链。根据 ${\displaystyle G}$  在 ${\displaystyle L_{i}}$  上的作用，这种 ${\displaystyle f}$  由它在形如 ${\displaystyle (e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})}$  的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 ${\displaystyle K^{i}}$  描述为

• ${\displaystyle K^{i}}$  的元素为 ${\displaystyle G^{i}\to M}$  之函数。
• ${\displaystyle (df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})}$ 

其中的元素称为非齐次上链。

综上所述，得到 ${\displaystyle H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)}$ 。

较常用的上同调是 ${\displaystyle H^{1}}$  与 ${\displaystyle H^{2}}$ 。从标准分解可导出以下的描述：

${\displaystyle H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}}$ 

准此要领，亦有

${\displaystyle H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}}$ 

上述理论有一对偶版本：对于任一 ${\displaystyle G}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，定义 ${\displaystyle DM}$  为形如 ${\displaystyle gm-m}$  的元素生成之子模。考虑从 ${\displaystyle G}$ -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

${\displaystyle M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ 

这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调 ${\displaystyle H_{n}(G,M)}$ 。群同调可以藉Tor函子描述为

${\displaystyle H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$ 

对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

将上述定义中的 ${\displaystyle G}$ -模 ${\displaystyle M}$  改成一般的群 ${\displaystyle A}$ （未必交换），并带有 ${\displaystyle G}$  的作用 ${\displaystyle a\mapsto g(a)}$ （称之为 ${\displaystyle G}$ -群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：

${\displaystyle H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}}$ 

${\displaystyle H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}}$ 

须留意 ${\displaystyle H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)}$  并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 ${\displaystyle A}$  的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。

若 ${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1}$  是 ${\displaystyle G}$ -群的短正合序列，则有长正合序列

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)}$ 

若 ${\displaystyle A}$ 落在 ${\displaystyle B}$  的中心，此序列右端可再加一项 ${\displaystyle H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)}$ 。

Res 与 Cor

若 ${\displaystyle f:H\to G}$  为群同态，则可将任一 ${\displaystyle G}$ -模透过 ${\displaystyle f}$  视为 ${\displaystyle H}$ -模，此运算导出上同调之间的映射

${\displaystyle H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)}$ 

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 ${\displaystyle H}$  是 ${\displaystyle G}$  的子群而 ${\displaystyle f}$  是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。

由于我们假设 ${\displaystyle G}$  为有限群，必有 ${\displaystyle (G:H)<\infty }$ ，此时映射

${\displaystyle N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm}$ 

导出一个上限制映射 ${\displaystyle \mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)}$ 。

定理. ${\displaystyle \mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id} }$ 

中心扩张

若 ${\displaystyle M}$  是平凡的 ${\displaystyle G}$  模（即 ${\displaystyle \forall g\in G,\;gm=m}$ ），则 ${\displaystyle H^{2}(G,M)}$  中的元素一一对应于 ${\displaystyle G}$  对 ${\displaystyle M}$  的中心扩张的等价类

${\displaystyle 0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1}$ 

中心扩张意谓：${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 1}$  是群扩张，而且 ${\displaystyle M}$  落在 ${\displaystyle E}$  的中心内。

具体描述方法是：任取一映射 ${\displaystyle s:G\to E,p\circ s=\mathrm {id} _{G}}$ 。${\displaystyle s}$  不一定是群同态，但存在函数 ${\displaystyle f:G^{2}\to M}$  使得 ${\displaystyle s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')}$ 。${\displaystyle s}$  及 ${\displaystyle f}$  刻划了 ${\displaystyle E}$  的群结构。不难验证 ${\displaystyle f\in K^{2}}$  满足 ${\displaystyle df=0}$ ，而 ${\displaystyle s}$  的选取对应于 ${\displaystyle f\mapsto f+dh,h\in K^{1}}$ ，所以 ${\displaystyle f\in H^{2}(G,A)}$  仅决定于唯一的一个中心扩张。反之，任一 ${\displaystyle f\in H^{2}(G,A)}$  都来自于某个中心扩张，证毕。

谱序列

若 ${\displaystyle N\subset G}$  是 ${\displaystyle G}$  的正规子群，则有下述谱序列

${\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,}$ 

对于射影有限群，此式依然成立。

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