Ext函子

设 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为有充足内射元的阿贝尔范畴，例如一个环 ${\displaystyle R}$  上的左模范畴 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 。固定一对象 ${\displaystyle A}$ ，定义函子 ${\displaystyle T_{A}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)}$ ，此为左正合函子，故存在右导函子 ${\displaystyle R^{\bullet }T_{A}(-)}$ ，记为 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,-)}$ 。当 ${\displaystyle {\mathcal {C}}=R-\mathbf {Mod} }$  时，常记之为 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,-)}$ 。

根据定义，取 ${\displaystyle B}$  的内射分解

${\displaystyle J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0}$ 

并取 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)}$ ，得到

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0}$ 

去掉首项 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$ ，最后取上同调群，便得到 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}$ 。

另一方面，若 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中也有充足射影元（例如 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ ），则可考虑右正合函子 ${\displaystyle G_{B}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)}$  及其左导函子 ${\displaystyle L_{\bullet }G_{B}(-)}$ ，可证明存在自然同构 ${\displaystyle L_{\bullet }G_{B}(A)=\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}$ 。换言之，对 ${\displaystyle A}$  取射影分解：

${\displaystyle P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0}$ 

并取 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)}$ ，得到

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0}$ 

去掉尾项 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$ ，其同调群同构于 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}$ 。

• 若 ${\displaystyle A}$  是射影对象或 ${\displaystyle B}$  是内射对象，则对所有 ${\displaystyle i>0}$  有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{i}(A,B)=0}$ 。
• 反之，若 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,-)=0}$ ，则 ${\displaystyle A}$  是射影对象。若 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(-,B)=0}$ ，则 ${\displaystyle B}$  是内射对象。
• ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)}$ 
• ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})}$ 
• 根据导函子性质，对每个短正合序列 ${\displaystyle 0\to B'\to B\to B''\to 0}$ ，有长正合序列：

${\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots }$ 

• 承上，若 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  有充足的射影元，则对第一个变数也有长正合序列；换言之，对每个短正合序列 ${\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}$ ，有长正合序列

${\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots }$ 

今设 ${\displaystyle A,B}$  为含单位元的环，并固定一环同态 ${\displaystyle A\to B}$ 。则由双函子的自然同构

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)}$ 

导出格罗滕迪克谱序列：对每个 ${\displaystyle B}$ -模 ${\displaystyle M}$  及 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有谱序列

${\displaystyle E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)}$ 

这个关系称为换底。

Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说，给定两个对象 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$ ，在扩张

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}$ 

的等价类与 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)}$  之间有一一对应，下将详述。

对任两个扩张

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}$  与

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0}$ 

可以构造其 Baer 和 为 ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\times _{A}C'/\Delta \rightarrow A\rightarrow 0}$ ，其中 ${\displaystyle \Delta :=(1,-1)(C\sqcup _{B}C')}$ （反对角线）。这在等价类上构成一个群运算，可证明此群自然地同构于 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)}$ 。

对更高阶的扩张，同样可定义等价类；对任两个 n-扩张（n>1）

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$  与

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$ 

此时的 Baer 和定为

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$ 

其中 ${\displaystyle A:=X_{1}\times _{A}X_{1}'/\Delta _{1}}$ （反对角线 ${\displaystyle \Delta _{1}}$  之定义同上），${\displaystyle Y_{n}:=X_{n}\sqcup _{B}X_{n}'}$ 。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算，此群自然同构于 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)}$ 。借此，能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。

• 设 ${\displaystyle G}$  为群，取环 ${\displaystyle R:=\mathbb {Z} G}$ ，可以得到群上同调：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} G}^{\bullet }(\mathbb {Z} ,M)=H^{\bullet }(G,M)}$ 。
• 设 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为局部赋环空间 ${\displaystyle X}$  上的 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模范畴，可以得到层上同调：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=H^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})}$ 。
• 设 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  为李代数，取环 ${\displaystyle R:=U({\mathfrak {g}})}$  为其泛包络代数，可以得到李代数上同调：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}},M)}$ 。
• 设 ${\displaystyle k}$  为域，${\displaystyle A}$  为 ${\displaystyle k}$ -代数，取环 ${\displaystyle R:=A\times A^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}${\displaystyle R:=A\times A^{\mathrm {op} }}  ，${\displaystyle A}$  带有自然的 ${\displaystyle R}$ -模结构，此时得到 Hochschild 上同调：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,M)=HH^{\bullet }(A,M)}$ 。

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1