内射分解

在同调代数中，一个阿贝尔范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的对象 ${\displaystyle A}$ 之内射分解定义为一正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow I^{0}\longrightarrow \cdots \longrightarrow I^{n}\longrightarrow I^{n+1}\longrightarrow \cdots }$

或简写成 ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I^{\bullet }}$，使得其中每个 ${\displaystyle I^{n}}$ 皆为内射对象。固定对象 ${\displaystyle A}$，则任两个内射分解至多差一个链复形的同伦等价。

若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的每个对象都有内射分解，则称 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 有充足的内射元，这类范畴上能以内射分解开展同调代数的研究。典型例子包括：

• 环 ${\displaystyle R}$ 上的 ${\displaystyle R}$-模构成之范畴 ${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$。
• 取值在有充足内射元的阿贝尔范畴的层，这时内射分解是层上同调的理论基石。

与此对偶的概念是射影分解。