Tor函子

设 ${\displaystyle R}$  为环。令 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$  为左 ${\displaystyle R}$ -模范畴、 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$  为右 ${\displaystyle R}$ -模范畴（若 ${\displaystyle R}$  为交换环，则两者等价）。固定一对象 ${\displaystyle B\in R-\mathbf {Mod} }$ ，考虑函子

${\displaystyle T_{B}(-):=-\otimes _{R}B}$ 

这是从 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$  至阿贝尔群范畴 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$  的右正合函子（若 ${\displaystyle R}$  为交换环，则它是映至 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$  的右正合函子），因此能考虑其左导函子 ${\displaystyle L_{\bullet }T_{B}}$ ，记为 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$ 。

换言之，对任一左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle A}$  取射影分解

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$ 

去掉尾项 ${\displaystyle A}$ ，并对 ${\displaystyle B}$  取张量积，得到链复形

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0}$ 

并取其同调群，则得到 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$ 

此外，Tor 函子也能以 ${\displaystyle A\otimes _{R}-}$  的左导函子定义，两种定义给出自然同构的函子。

• Tor 函子与直和交换：

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})}$ 

• 对任何 ${\displaystyle n\geq 1}$ ，${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}}$  是从 ${\displaystyle (\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )}$  到 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$  的加法函子。若 ${\displaystyle R}$  是交换环，则它是从 ${\displaystyle (R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )}$  到 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$  的加法函子。
• 依据导函子性质，每个短正合序列 ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$  导出长正合序列：

${\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots }$ 

对第二个变数亦同。

• 若 ${\displaystyle R}$  为交换环，${\displaystyle r\in R}$  非零因子，则

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}}$ 

这是 Tor 函子的词源。

• 由于阿贝尔群皆有长度不超过二的自由分解（因为自由阿贝尔群的子群皆为自由的），此时对所有 ${\displaystyle n\geq 2}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0}$ 。

设 ${\displaystyle A,B}$  为交换环，${\displaystyle M}$  为 ${\displaystyle B}$ -模，并固定一个环同态 ${\displaystyle A\to B}$ 。我们有双函子的自然同构：

${\displaystyle (-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M}$ 

由此导出格罗滕迪克谱序列：对任何 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有谱序列

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)}$ 

一个右 ${\displaystyle R}$ -模是平坦模的充要条件是 ${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_1^R(M,-)=0}${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0}  。此时可推出 ${\displaystyle \forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0}$ 。左 ${\displaystyle R}$ -模的情况准此可知。事实上，计算 Tor 函子时可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必为平坦分解，反之则不然；平坦分解在技术上较富弹性。

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1