平坦模

当 ${\displaystyle R}$  为交换环，一个 ${\displaystyle R}$ -模的平坦性等价于 ${\displaystyle N\mapsto N\otimes _{R}M}$  是个从 ${\displaystyle R}$ -模到${\displaystyle R}$ -模之正合函子。

将环 ${\displaystyle R}$  对一个积性子集 ${\displaystyle S}$  的局部化 ${\displaystyle S^{-1}R}$  视作 ${\displaystyle R}$ -模，则它是平坦的。

当 ${\displaystyle R}$  是诺特环而 ${\displaystyle M}$  是有限生成 ${\displaystyle R}$ -模时，平坦性在下述意义等价于局部自由模：${\displaystyle M}$  是平坦 ${\displaystyle R}$ -模当且仅当对任何素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ，局部化 ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$  是自由 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ -模。事实上，对条件中的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  仅须考虑极大理想即可。

当 ${\displaystyle R}$  非交换时的定义须作如下修改：假设 ${\displaystyle M}$  是左 ${\displaystyle R}$ -模，则称之左平坦模，当且仅当对 ${\displaystyle M}$  的张量积将右 ${\displaystyle R}$ -模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。

环上的张量积总是右正合函子，所以左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  是平坦模的充要条件是：对任何右 ${\displaystyle R}$ -模的单射 ${\displaystyle K\rightarrow L}$ ，取张量积后的同态 ${\displaystyle K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M}$  仍为单射。

一般来说，平坦模的归纳极限仍是平坦模；此陈述可由 ${\displaystyle -\otimes _{R}M}$  与 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,-)}$  的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模，然而我们有下述定理：一个平坦模的同态像是平坦模，当且仅当其核为纯子模。

Lazard 在1969年证明了：模 ${\displaystyle M}$  平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一个阿贝尔群是平坦 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模的充要条件是其中没有挠元。

与Tor函子的关系

平坦性也可以用Tor函子的消没性表示。Tor函子是张量积的左导函子。一个左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  的平坦性等价于 ${\displaystyle n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,M)=0}$ ；类此，一个右 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle N}$  的平坦性等价于 ${\displaystyle n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(N,-)=0}$ 。藉Tor函子的长正合序列可以导出下列关于基本性质：

考虑短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$ 

• 若 ${\displaystyle A,C}$  平坦，则 ${\displaystyle B}$  亦然。
• 若 ${\displaystyle B,C}$  平坦，则 ${\displaystyle A}$  亦然。
• 若 ${\displaystyle A,B}$  平坦，${\displaystyle C}$  不一定平坦；若假设 ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle B}$  的纯子模而 ${\displaystyle B}$  平坦，则可推出 ${\displaystyle A}$  与 ${\displaystyle C}$  皆平坦。

局部判准

设 ${\displaystyle R}$  为交换环，${\displaystyle I\subset R}$  为一理想，则我们有下述平坦性的局部判准。

定理（Bourbaki）. 以下诸条件等价：

1. ${\displaystyle M}$  是平坦 ${\displaystyle R}$ -模。
2. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M}$  是平坦 ${\displaystyle R/I}$ -模，且 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,R/I)=0}$ 。
3. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M}$  是平坦 ${\displaystyle R/I}$ -模，且典范同态 ${\displaystyle I\otimes _{R}M\rightarrow IM}$  为同构。
4. 对所有 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有 ${\displaystyle IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0}$ 。
5. 对所有 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有 ${\displaystyle \exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0}$ 。
6. 对所有 ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ ，${\displaystyle R/I^{s}\otimes _{R}M}$  是平坦 ${\displaystyle R/I^{s}}$ -模。
7. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M}$  是平坦 ${\displaystyle R/I}$ -模，且典范态射 ${\displaystyle \gamma :\mathrm {gr} _{I}^{0}(M)\otimes _{R/I}\mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(M)}$  为同构。

此判准在代数几何中的用途尤大。

一个模 ${\displaystyle M}${\displaystyle M}   的平坦分解是如下形式的正合序列：

${\displaystyle \cdots \rightarrow F_{i}\rightarrow F_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}$ 

使得其中每个 ${\displaystyle F_{i}}$  都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

一个 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  被称作忠实平坦的，当且仅当 ${\displaystyle -\otimes _{R}M}$  是个忠实的正合函子。这也就是说：

1. ${\displaystyle M}$  是个平坦 ${\displaystyle R}$ -模。
2. 典范映射 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(N_{1},N_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N_{1}\otimes _{R}M,N_{2}\otimes _{R}M)}$  是单射。

当 ${\displaystyle R}$  为交换环时，有以下几种等价的刻划：

• ${\displaystyle M}$  是忠实平坦的。
• ${\displaystyle M}$  是平坦的，且 ${\displaystyle N\otimes _{R}M=0\Rightarrow N=0}$ 。
• ${\displaystyle M}$  是平坦的，且对所有极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset R}$  都有 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}\otimes _{R}M\neq 0}$ 。
• 一个序列 ${\displaystyle N_{\bullet }}$  正合，当且仅当 ${\displaystyle N_{\bullet }\otimes _{R}M}$  正合。

• Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
• Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.