狄利克雷边界条件在数学中,狄利克雷边界条件(Dirichlet boundary condition)也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”,指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。 目录 1 例子 1.1 常微分方程 1.2 偏微分方程 1.3 工程应用 2 参见 例子 常微分方程 在常微分方程情况下,如 d 2 y d x 2 + 3 y = 1 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1} 在区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , 狄利克雷边界条件有如下形式: y ( 0 ) = α 1 {\displaystyle y(0)=\alpha _{1}} y ( 1 ) = α 2 {\displaystyle y(1)=\alpha _{2}} 其中 α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} 和 α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} 是给定的数值。 偏微分方程 一个区域 Ω ⊂ R n , {\displaystyle \Omega \subset R^{n},} 上的偏微分方程,如 Δ y + y = 0 {\displaystyle \Delta y+y=0} 其中 Δ {\displaystyle \Delta } 表示拉普拉斯算子,狄利克雷边界条件有如下的形式 y ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω {\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega } 其中 f {\displaystyle f} 是边界 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } 上给定的已知函数。 工程应用 在热力学中,第一类边界条件的表述为:“将大平板看成一维问题处理时,平板一侧温度恒定。” 半无限大物体在导热方向上,当其边界温度一定为第一类。数学描述为: T ( x , 0 ) = T 1 ; T ( 0 , t ) = T s {\displaystyle T(x,0)=T1;T(0,t)=Ts} 参见 诺伊曼边界条件