诺伊曼边界条件在数学中,诺伊曼边界条件(Neumann boundary condition) 也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。 在常微分方程情况下,如 d 2 y d x 2 + 3 y = 1 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1} 在区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , 诺伊曼边界条件有如下形式: y ′ ( 0 ) = α 1 {\displaystyle y'(0)=\alpha _{1}} y ′ ( 1 ) = α 2 {\displaystyle y'(1)=\alpha _{2}} 其中 α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} 和 α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} 是给定的数值。 一个区域 Ω ⊂ R n , {\displaystyle \Omega \subset R^{n},} 上的偏微分方程,如 Δ y + y = 0 {\displaystyle \Delta y+y=0} ( Δ {\displaystyle \Delta } 表示拉普拉斯算子),诺伊曼边界条件有如下的形式: ∂ y ∂ ν ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω . {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .} 这里, ν {\displaystyle \nu } 表示边界 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } 处(向外的)法向; f {\displaystyle f} 是给定的函数。法向定义为 ∂ y ∂ ν ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ ν ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=\nabla y(x)\cdot \nu (x)} 其中∇是梯度,圆点表示内积。 参看 狄利克雷边界条件