布丰投针问题

设针的长度是${\displaystyle \ell }$ ，平行线之间的距离为${\displaystyle t}$ ，${\displaystyle x}$ 为针的中心和最近的平行线的距离，${\displaystyle \theta }$ 为针和线之间的锐角。

${\displaystyle x\in [0,t/2]}$ 且均匀分布，其概率密度函数为${\displaystyle {\frac {2}{t}}}$ 。

${\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]}$ 且均匀分布，其概率密度函数为${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$ 。

${\displaystyle x,\theta }$ 两个随机变量互相独立，因此两者结合的概率密度函数只是两者的积：

${\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])}$ 

当${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$ ，针和线相交，然后对${\displaystyle x,\theta }$ 积分得出所求概率。

要求上式的积分需要分为两种情况：“短针”${\displaystyle ({\ell }\leq t)}$ 以及“长针”${\displaystyle ({\ell }>t)}$ ；以下考虑“短针”情况，计算上式积分得针与线相交的概率：

${\displaystyle P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}}$ 

作简单变换可得${\displaystyle \pi ={\frac {2\ell }{tP}}}$ ,

当抛${\displaystyle n}$ 支针，其中有${\displaystyle h}$ 支针与线相交，利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近概率的理论值${\displaystyle P\approx {\frac {h}{n}}}$ 。

近似可得${\displaystyle \pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}}$ 

1901年，意大利数学家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）尝试进行此实验。他抛了3408次针，得到π的近似值为355/113。

拉扎里尼选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况，针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交，π约等于${\displaystyle 5/3\times n/x}$ 。分母、分子少于五位数字，没有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式${\displaystyle 355/113=5/3\times n/x}$ ，得${\displaystyle x=113n/213}$ 。

为求x的值接近这个数，可以重复抛213次针，若有113次是成功的，便可终止实验，宣布这个方法求π值准确度不低；否则，就再抛213次针，希望共有226次成功……这次反复进行实验。拉扎里尼做了${\displaystyle 3408=213\times 16}$ 次。

• 伯特兰悖论
• 蒙特卡洛方法

• Buffon's Needle Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Math Surprises: Buffon's Noodle （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• MSTE: Buffon's Needle （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Buffon's Needle Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Estimating PI Visualization (Flash) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) （页面存档备份，存于互联网档案馆） at slideshare
• Animations for the Simulation of Buffon's Needle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Yihui Xie using the R package animation
• 3D Physical Animation （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jeffrey Ventrella
• Padilla, Tony. Π Pi and Buffon's Needle. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-09]. （原始内容存档于2013-05-17）.