海森伯群

连续海森堡群

若a、b、c为实数，则可得到一个连续海森堡群 H₃(R)。其为一个幂零李群。

离散海森堡群

若a、b、c为整数，则可得到一个离散海森堡群 H₃(Z)。其为一个非阿贝尔幂零群，有两个生成元

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

并满足关系

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$ 。

其中，

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

为 H₃ 中心之生成元。（x^-1，y^-1和z^-1即分别将x，y和z主对角线上的1改为-1）

依贝斯定理所述，其有一个4目的多项式增长率。

模p海森堡群

若取a、b、c在Z/pZ内，则可得到一个模 p 海森堡群。其为p³目的群，其中有两个生成元x和y，满足关系

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy}$ 。

更一般性地，海森堡群可以由任何一个辛向量空间来建造。例如，令(V,ω)为一个有限维实辛向量空间(故ω为于V上之非退化反对称双线性形)。在(V,ω)(或简称V)上的海森堡群H(V)是一个附有群定律

${\displaystyle (v_{1},t_{1})\cdot (v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\frac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}$ 

的集合。

海森堡群是加法群V的中心扩张。因此，会有一个正合序列

${\displaystyle 0\to \mathbb{R}\to H(V)\to V\to 0.}${\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to H(V)\to V\to 0.}  

每一个辛向量空间都会允许有一个满足ω(e_j,f^k) = δ_j^k的达布基{e_j,f^k}_{1 ≤ j,k ≤ n}。以此一基来叙述，每个向量都可以分解成

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$ 

其中的q^a和p_a为正则坐标。

若{e_j,f^k}_{1 ≤ j,k ≤ n}是V的一个达布基，然后令{E为R的一个基，则{e_j,f^k, E}_{1 ≤ j,k ≤ n}会是V×R的一个对应的基。一个在H(V)内的向量

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$ 

可以等同于下列矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&t+{\frac {1}{2}}pq\\0&1&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

因此便给出了一个H(V)的真实矩阵表示。

• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.