英文为primary factors或是elementary factors。也有译为“主要因子”的版本。[1]
对于任意的 ,基本因子 的定义如下:[2]
其中,级数 。
对于级数 ,有如下性质。以下性质在后续引理的证明中会用到(主要是3.、4.与5.)。
- 的情况下, 可被展开为 。接着两边同时积分,可得 。所以 的极限可以表示为 。
- 因为 ,所以 。
- 如果将 与 之间的差额定义为新的级数 。
- 利用2.与3.改写 的定义式: 。改写后的基本因子定义式 将会在后续引理的证明中用到。
- 将3.的关系写成级数形式: 。
利用以上性质,可以证明下面的重要引理。该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用。[2]
引理 (15.8, Rudin): 对于 ,
成立。
证明:
时, 显而易见。所以只讨论 的情况。
i) 将引理左边的部分(不带绝对值)定义为一个新函数 。后续称此式为式 。
运用性质4.与5.改写式 :
将指数部分展开后可得(为了简洁,系数用字母 表示):
整理后可得, 可以用一个新的级数来表示: 。将系数统一用 (如 )来标注的话, 。
将该结果微分,可得:
ii) 将式 直接微分,可得
将指数部分展开可得。
结论1:比较i)与ii)的结果。比较 项可知, 。同样的方法比较后续项可知, 皆为正的实数。
iii) 基于 新设一个级数 。因为极点是一个可消极点,所以这也是一个整函数。计算
所以在给定的条件 下,运用绝对值不等式的基本性质和结论1:
即, 成立。引理(15.8)证明完毕。