SL₂(ℝ)

SL₂(ℝ) 是 ℝ² 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp₂(ℝ) 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。

商 PSL₂(ℝ) 有多个有趣的描述：

• 它是实射影直线 ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$  上保持定向的射影变换群。
• 它是单位圆盘的共形自同构群。
• 它是双曲平面保持定向的等距群。
• 它是三维闵可夫斯基空间的限制洛伦兹群。等价地，它同构于不定正交群 SO⁺(1,2)。从而 SL₂(ℝ) 同构于旋量群 Spin(2,1)⁺。

线性分式变换

PSL₂(ℝ) 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$  上：

${\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}.}$ 

这类似于 PSL₂(ℂ) 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL₂(ℝ) 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。

莫比乌斯变换

PSL₂(ℝ) 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;(\,}$  这里 ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} {\mbox{)}}.\,}$ 

这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL₂(ℝ) 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理，它也是单位圆盘的共形自同构群。

这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。

伴随表示

群 SL₂(ℝ) 通过共轭作用在它的李代数 SL₂(ℝ) 上，导致 PSL₂(ℝ) 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。结果是如下表示

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{bmatrix}}.}$ 

sl₂(ℝ) 上的基灵型有符号 (2,1)，诱导了 PSL₂(ℝ) 与洛伦兹群 SO⁺(2,1) 之间一个同构。PSL₂(ℝ) 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL₂(ℝ) 在双曲空间的双曲面模型上的等距。

SL₂(ℝ) 中一个元素 A 的本征值满足特征多项式

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0,\,}$ 

从而

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.\,}$ 

这导致了如下元素分类：

• 如果 | tr(A) | < 2，则 A 称为椭圆型。

• 如果 | tr(A) | = 2，则 A 称为抛物型。

• 如果 | tr(A) | > 2，则 A 称为双曲型。

椭圆型元素

椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL₂(ℝ) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素，他们作用在环面上是周期性微分同胚。

抛物型元素

抛物型元素只有一个本征值，1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射，相应 PSL₂(ℝ) 中元素作用在双曲平面上是极限旋转（limit rotation），在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转。

模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转（Dehn twist（英语：Dehn twist））。

双曲型元素

双曲型元素的本征值都是实数，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射（squeeze mapping（英语：squeeze mapping）），相应的 PSL₂(ℝ) 元素作用在双曲平面是平移，在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。

模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism（英语：Anosov diffeomorphism））。

做为一个拓扑空间，PSL₂(R) 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL₂(R) 是 PSL₂(R) 的二重复盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。

SL₂(R) 的基本群是无限循环群 ℤ。其万有覆盖群记做 ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$ ，是一个有限维李群但不是矩阵群。即 ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$  没有忠实有限维表示。

做为一个拓扑空间，${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$  是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-流形 ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$  成为瑟斯顿八几何之一。例如，${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$  是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$  为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（Seifert fiber space（英语：Seifert fiber space）））。

SL₂(ℝ) 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL₂(ℝ) 是单群。

PSL₂(ℝ) 的离散子群称为富克斯群（Fuchsian group（英语：Fuchsian group））。他们是欧几里得壁纸群（wallpaper group（英语：wallpaper group））和饰带群（Frieze group（英语：Frieze group））的双曲类比。最有名的是模群 PSL₂(ℤ)，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

圆群SO(2)是 SL₂(ℝ) 的一个极大紧子群，圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL₂(ℝ) 的一个极大紧子群。

PSL₂(ℝ) 的舒尔乘子（Schur multiplier（英语：Schur multiplier））是 ℤ，万有中心扩张与万有覆盖群相同。

SL₂(ℝ) 是一个实非紧单李群，也是复李群 SL₂(ℂ) 的分裂实形式。SL₂(ℝ) 的李代数记做 sl₂(ℝ)，是所有迹为零的 2×2 实矩阵。 它是 VIII 型比安基代数。

SL₂(ℝ) 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论，这是 SL₂(ℂ) 的紧实形式。特别地 SL₂(ℝ) 没有非平凡有限维酉表示。

SL₂(ℝ) 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示，这被盖尔范德、奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。

• 线性群
• 特殊线性群
• 射影线性群（projective linear group）
• 双曲等距（hyperbolic isometry）
• 模群（modular group（英语：modular group））
• 莫比乌斯变换
• 射影变换
• 富克斯群（Fuchsian group（英语：Fuchsian group））
• 李群列表（Table of Lie groups（英语：Table of Lie groups））

• V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group，The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
• Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
• Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
• Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
• William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5