双曲面模型

几何学中,双曲面模型hyperboloid model),也称为闵可夫斯基模型Minkowski model)或洛伦兹模型Lorentz model),分别冠以赫尔曼·闵可夫斯基亨德里克·洛伦兹的名字。是 n-维双曲几何的一个模型,其中点由 (n+1)-维闵可夫斯基空间中双叶双曲面的向前叶 S+ 中的点表示,而 m-维平面由闵可夫斯基空间中的 (m+1)-维平面与 S+ 的交集表示。双曲距离函数在这个模型中有一个简单的表达式。n-维双曲空间的双曲面模型与凯莱-克莱因模型密切相关:两者都是射影模型,它们的等距群射影群的一个子群。

红色圆孤为庞加莱圆盘模型上的测地线,投影到绿色双曲面模型上的棕色测地线。

闵可夫斯基二次型

如果 (x0, x1, …, xn) 是 (n+1)-维坐标空间 Rn+1 中一个向量,闵可夫斯基二次型定义为

 

向量 vRn+1 使得 Q(v) = 1 构成一个 n-维双曲面 S,由两个连通分支(或说叶)组成:向前或未来叶 S+,其中 x0>0 与向后叶或过去叶 S,其中 x0<0。n-维双曲面模型中的点是向前叶 S+ 上的点。

闵可夫斯基双线性形式 B 是闵可夫斯基二次型 Q极化

 

具体地

 

S+ 中两点 uv双曲距离由公式

 

给出。

等距

不定正交群 O(1,n),也称为 (n+1)-维洛伦兹群,是保持闵可夫斯基双线性形式的 (n+1)×(n+1) 矩阵形成的李群。换种语言说,它是闵可夫斯基空间的线性等距群。特别地,这个群保持双曲面 SO(1,n) 保持第一个坐标的符号的子群是正时洛伦兹群,记作 O+(1,n)。它的行列式为 1 矩阵的子群 SO+(1,n) 是一个 n(n+1)/2 维连通李群,通过线性自同构作用在 S+ 上且保持双曲距离。这个作用是传递的,向量 (1,0,…,0) 的稳定子由如下形式矩阵组成

 

这里 A 属于紧特殊正交群 SO(n)(推广了 n=3 的旋转群)。从而 n-维双曲空间是一个齐性空间以及秩为 1 的黎曼对称空间

 

事实上,群 SO+(1,n) 是 n-维双曲空间保持定向的整个等距群。

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参考文献

  • Alekseevskij, D.V.; Vinberg, E.B.; Solodovnikov, A.S., Geometry of Spaces of Constant Curvature, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 3-540-52000-7 
  • Anderson, James, Hyperbolic Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-1-85233-934-0 
  • Ratcliffe, John G., Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94348-0 , Chapter 3
  • Ryan, Patrick J., Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-25654-2