数学中,Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论;其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论,尤其于超弦与D-膜理论。
Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量,Θ函数是拟周期函数(quasiperiodic function),具有“拟周期性”。在一般下降理论中,Θ函数是来自线丛条件。
雅可比Θ函数
雅可比Θ函数取二变量 与 ,其中 为任何复数,而 为上半复平面上一点;此函数之定义为:
- 。
若固定 ,则此成为一周期为 的单变量 整函数的傅里叶级数:
- 。
在以 位移时,此函数符合:
- ;
其中 与 为整数。
辅助函数
可定义辅助函数:
-
-
-
其中符号依黎曼与芒福德之习惯;雅可比的原文用变量 替换了 ,而称本条目中的Θ为 , 为 , 为 , 为 。
若设 ,则我们可从以上获得四支单以 为变量之函数,其中 取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”(theta constant);我们可以用Θ函数定义一系列模形式,或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得:
- ,
是为四次费马曲线。
雅可比恒等式
雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用;模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设:
-
则
-
-
-
-
以nome q表示Θ函数
我们可用变量 与 ,代替 与 ,来表示ϑ。设 而 。则ϑ可表示为:
-
而辅助Θ函数可表示为:
-
-
-
此表示式不需要指数函数,所以适用于指数函数无每一处定义域,如p进数域。
乘积表示式
雅可比三重积恒等式(Jacobi's triple product identity)中指出:若有复数 和 ,其中 而 ,则
-
此式可以用基本方法证明,如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》(英语:An Introduction to the Theory of Numbers)。
若用nome变量 与 表示,则有:
-
由此得到Θ函数的积公式:
-
三重积等式左边可以扩展成:
-
即
- 。
这个式子在z取实值时尤为重要。
各辅助Θ函数亦有类似之积公式:
-
-
-
积分表示式
雅可比Θ函数可用积分表示,如下:
-
-
-
-
与黎曼ζ函数的关系
黎曼常用关系式
-
以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式:
- ;
而此积分于替换 下不变。 非零时之积分,在赫尔维茨ζ函数一文有描述。
与基本椭圆函数之关系
雅可比用Θ函数来构造椭圆函数,并使其有易于计算之形式,因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商,这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造:
-
其中二次微分相对于z,而常数c使 的罗朗级数(于 z = 0)常项为零,因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数,和为零,而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零,所以这是必要的。
与模形式之关系
设η为戴德金η函数。则
- .
解热方程
雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值,τ = it而t取正值。则有
-
此解此下方程:
- 。
于t = 0时,Θ函数成为“狄拉克梳状函数”(Dirac comb)
- ,
其中δ为狄拉克δ函数,故可知此解是唯一的。
因此,一般解可得自t = 0时的(周期)边界条件与Θ函数的卷积。
与海森堡群之关系
雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。
推广
若F为一n元二次型,则有一关连的Θ函数
-
其中Zn为整数格。此Θ函数是模群(或某适当子群)上的权n/2 模形式。在其富理埃级数
-
中,RF(k) 称为此模形式之“表示数”(representation numbers)。
拉马努金Θ函数
黎曼Θ函数
设
-
为一集对称方矩阵,其虚部为正定,一般称Hn为“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z): 当n = 1 时, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群(congruence subgroup)的n维推广为态射核 。
若设 ,则可定义黎曼Θ函数:
- ;
- ;
其中 为一n维复向量,上标T为转置。然则雅可比Θ函数为其特例(设n = 1、 ;其中 为上半平面)。
在 的紧致子集上,黎曼Θ函数绝对一致收敛。
函数方程为:
- ;
此方程成立于
, , 。
q-Θ函数
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参考文献