赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下
其中、都是复数,并且有,
对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.
黎曼ζ函数=
级数展开
赫尔维茨ζ函数可以展开成级数::[1]
-
此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。
积分式
赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换
-
其中 及
赫尔维茨公式
-
其中
-
对于 and s > 1成立,其中 代表 多重对数.
泰勒展开
赫尔维茨ζ函数的导数是平移:
-
因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:
-
或
-
其中 .[2]
与Θ函数的关系
令 代表 雅可比 Θ函數, 则
-
对于 and 复数z 成立,但对于 z=n 整数,则有
-
其中 ζ 代表黎曼ζ函数.
推广
正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:
-
For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:[3]
-
The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。
The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:
-
即:
-
赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系:
- 其中
Meijer G函数
-
参考文献
- ^ Hasse, Helmut, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, Mathematische Zeitschrift, 1930, 32 (1): 458–464 [2015-02-04], JFM 56.0894.03, doi:10.1007/BF01194645, (原始内容存档于2017-08-05)
- ^ Vepsta卄s, Linas. An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions. 2007. arXiv:math.CA/0702243 .
- ^ Apostol (1976) p.264
延伸阅读
- Davenport, Harold. Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics 1. Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303.
- Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, 100: 201–206 [2015-02-04]. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9. (原始内容存档于2010-03-16).
- Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (PDF). [2015-02-04]. (原始内容存档 (PDF)于2021-03-10).
- Mező, István; Dil, Ayhan. Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory. 2010, 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.