赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下

复空间赫尔维茨ζ函数

其中都是复数,并且有,

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数=

级数展开

赫尔维茨ζ函数可以展开成级数::[1]


 

此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数

积分式

赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

 

其中   

赫尔维茨公式

 

其中

 

对于   and s > 1成立,其中  代表 多重对数.

泰勒展开

赫尔维茨ζ函数的导数是平移:


 

因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

 

 

其中  .[2]

与Θ函数的关系

  代表 雅可比 Θ函數, 则
 

对于   and 复数z 成立,但对于 z=n 整数,则有

 

其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广

正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

 

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:[3]

 

The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

 

即:

 

赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系:

 其中  

Meijer G函数

 

参考文献

  1. ^ Hasse, Helmut, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, Mathematische Zeitschrift, 1930, 32 (1): 458–464 [2015-02-04], JFM 56.0894.03, doi:10.1007/BF01194645, (原始内容存档于2017-08-05) 
  2. ^ Vepsta卄s, Linas. An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions. 2007. arXiv:math.CA/0702243 .  cite arXiv模板填写了不支持的参数 (帮助)
  3. ^ Apostol (1976) p.264

延伸阅读