富比尼–施图迪度量

富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。

具体地，可以定义 CPⁿ 由 Cⁿ⁺¹ 中复直线组成的空间，即 Cⁿ⁺¹ 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C^* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同：

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$ 

这个商将 Cⁿ⁺¹ 实现为底空间 CPⁿ 上的复线丛（事实上这就是 CPⁿ 上所谓的重言丛）。CPⁿ 中的一点等同于 (n+1)-元组 [Z₀,...,Z_n] 模去非零复缩放的一个等价类；这些 Z_i 称为这个点的齐次坐标。

进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 z = R e^iθ 可以惟一地想成一个以模长 R 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 ${\displaystyle \theta }$  的复合，商 Cⁿ⁺¹→CPⁿ 分成两块。

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}$ 

其中第 (a) 步以正实数乘法群 R⁺ 的缩放 Z ~ RZ，这里 R ∈R⁺，作商；步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ e^iθZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1 所定义的实超球面 S²ⁿ⁺¹。第 (b) 步的商实现为 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹，这里 S¹ 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ实现 ，纤维属于 ${\displaystyle S^{2n+1}}$  中的大圆。

作为度量商

当取一个黎曼流形（或一般的度量空间）的商时，必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如，如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上，则为了是轨道空间 X/G 拥有一个诱导度量，${\displaystyle g}$  沿着 G-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 h ∈ G 以及一对向量场 ${\displaystyle X,Y}$  必须有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。

'Cⁿ⁺¹ 上标准埃尔米特度量在标准基下为

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\overline {Z_{0}}}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}.\,}$ 

它的实化是 R²ⁿ 上标准欧几里得度量。这个度量在 C^* 的作用下没有不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 CPⁿ 中。但是，这个度量在旋转群 S¹ = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。

富比尼–施图迪度量是在商CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹ 上诱导的度量, 其中 ${\displaystyle S^{2n+1}}$  带着所谓的“圆度量”，是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。

在局部仿射坐标中

对应于 CPⁿ 中具有齐次坐标(Z₀,...,Z_n) 的一点，只要 Z₀ ≠ 0，存在惟一 n 个坐标集合 (z₁,…,z_n) 使得

${\displaystyle [Z_{0},\dots ,Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$ 

特别地 z_j = Z_j/Z₀。这个 (z₁,…,z_n) 组成 CPⁿ 在坐标片 U₀ = {Z₀ ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 U_i={Z_i≠0} 上通过除以 Z_i，得到一个仿射坐标系。这 n+1 个坐标片 U_i 盖住了 CPⁿ，在 U_i 上可以利用仿射坐标系 (z₁,…,z_n) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CPⁿ 全纯切丛的一个标架 ${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$ ，利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量

${\displaystyle h_{ij}=h(\partial _{i},\partial _{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta _{ij}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.}$ 

这里|z|² = z₁²+...+z_n²。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是

${\displaystyle {\bigl (}h_{ij}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$ 

注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用 ${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$  不会改变这个矩阵。

对应地，线元素为

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})dz_{j}d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}dz_{j}d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}}$ 

在最后的表达式中，使用了爱因斯坦求和约定，拉丁字母指标 i 和 j 从 1 求到 n。

在齐次坐标中

在齐次坐标 Z = [Z₀,...,Z_n] 中也有相应的表达式。形式上，我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&=2{\frac {Z_{[\alpha }dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$ 

上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 n，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$ 

现在，ds² 的这个表达式显然在重言丛 Cⁿ⁺¹\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CPⁿ 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CPⁿ 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。

差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为

${\displaystyle \omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}.}$ 

其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|² 是 CPⁿ 的凯勒数量。

n = 1 情形

当 n = 1，有由球极投影给出的微分同胚 ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$ 。这导致了特殊的霍普夫纤维化 S¹→S³→S²。当在 CP¹ 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 S² 上半径 1/2 的通常圆度量。

具体地，如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP¹ 上标准仿射坐标卡，且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的极坐标，则一个简单的计算表明

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dz\;d{\overline {z}}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}ds_{us}^{2}}$ 

这里 ${\displaystyle ds_{us}^{2}}$  是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 给出的 S² “数学家的”球坐标（许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换）。

在 n = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 R 球面的数量曲率是 ${\displaystyle 1/R^{2}}$ ）。但是，对 n > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出^[1]

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$ 

这里 ${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$  是 2-维平面 σ 的一个标准正交基，J : TCPⁿ → TCPⁿ 是 CPⁿ 上的复结构，而 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  是富比尼–施图迪度量。

这个公式的一个推论是任何 2-维平面 ${\displaystyle \sigma }$  的截面曲率满足 ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$ 。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。

这使 CPⁿ 成为一个（非严格的）四分之一拼挤流形（英语：Sphere theorem）；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 n-流形一定同胚于球面。

富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有 i,j 我们有

${\displaystyle Ric_{ij}=\lambda g_{ij}.}$ 

除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 CPⁿ 与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ 

这里 ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$  是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合，${\displaystyle Z_{k}}$  是复数，而 ${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$  是射影空间 ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$  中一点在齐次坐标中的标准记号。那么，给定空间中两点 ${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$  与 ${\displaystyle \vert \phi \rangle =W_{\alpha }}$ ，它们之间的距离是

${\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}}$ 

或等价地，在射影簇记号中，

${\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.}$ 

这里 ${\displaystyle {\overline {Z}}^{\alpha }}$  是 ${\displaystyle Z_{\alpha }}$  的复共轭。分母中出现的 ${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$  提醒了 ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$  以及类似的 ${\displaystyle \vert \phi \rangle }$  不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为量子角（quantum angle）。这个角度是实值的，取值于零到 ${\displaystyle \pi /2}$ 。

通过取 ${\displaystyle \phi =\psi +\delta \psi }$ ，或等价地 ${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$ ，马上可以等到这个度量的无穷小形式

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$ 

在量子力学中，CP¹ 叫做布洛赫球面；富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为，包括量子纠缠和贝里相位（Berry phase（英语：Berry phase））效应，可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲，此度量在射影空间的自然乘积塞格雷嵌入（英语：Segre embedding）中是可分的。这是说如果 ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$  是一个可分态，从而可以写成 ${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$ ，则度量是子空间上度量之和：

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$ 

这里 ${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$  和 ${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$  是在子空间 A 与 B 上各自的度量。

• 非线性σ模型
• 卡鲁扎-克莱因理论

• Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8 
• Brody, D.C.; Hughston, L.P., Geometric Quantum Mechanics, Journal of Geometry and Physics, 2001, 38: 19–53, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8 
• Griffiths, P.; Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience: 30–31, 1994, ISBN 0-471-05059-8 
• Onishchik, A.L., Fubini–Study metric, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .