柯西积分公式

设${\displaystyle \Omega }$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一个单连通的开子集。${\displaystyle f\;:\;\;\Omega \;\rightarrow \mathbb {C} }$ 是一个${\displaystyle \Omega }$ 上的全纯函数。设${\displaystyle \gamma }$ 是${\displaystyle \Omega }$ 内的一个简单闭合的可求长曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么函数${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \gamma }$ 内部的点${\displaystyle a}$ 上的值是：

${\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz.}$ 

其中的积分为沿着${\displaystyle \gamma }$ 逆时针方向的积分。^[2]:167

以上公式说明，全纯函数必然是无穷次可导的。这是因为假设以上的公式对函数${\displaystyle f}$ 的n阶导数成立：

${\displaystyle f^{(n)}(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f^{(n)}(z) \over z-a}\,dz.}$ 

对上式等号右侧的积分进行n次分部积分变换就可得到对n阶导数的柯西积分公式：

${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.}$ 

有时也称作柯西微分公式。右端是一个复可微的函数。这说明${\displaystyle f}$ 的n阶导数仍然是复可微的。所以依据数学归纳法可知${\displaystyle f}$ 是无穷次可导的，并且柯西微分公式对任意阶的导数都成立。

如果函数${\displaystyle f}$ 仅在${\displaystyle \gamma }$ 内部是全纯函数，在边界${\displaystyle \gamma }$ 上仅仅是连续函数，那么只有函数${\displaystyle f}$ 的柯西积分公式成立，而微分公式不一定成立。^[2]:167

选定以${\displaystyle a}$ 为圆心，在${\displaystyle \gamma }$ 内部的一个圆盘${\displaystyle D_{0}=\{z;\;|z-a|\leqslant r\}}$ ，它的边界是圆${\displaystyle C_{0}=\{z;\;|z-a|=r\}}$ 。函数${\displaystyle {\frac {f}{z-a}}}$ 在闭合区域${\displaystyle D\setminus D_{0}}$ 上是全纯函数，所以根据柯西积分定理，它在边界上的积分等于0：

${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz+{1 \over 2\pi i}\oint _{C_{0}^{-}}{f(z) \over z-a}\,dz=0.}$ 

其中${\displaystyle C_{0}^{-}}$ 的标记表示沿“内边界”${\displaystyle C_{0}}$ 的积分是顺时针方向。所以将这个积分改为沿逆时针方向${\displaystyle C_{0}^{+}}$ 后，就能得到：

${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{0}^{+}}{f(z) \over z-a}\,dz.}$ 

这个等式与圆盘${\displaystyle D_{0}}$ 的半径${\displaystyle r}$ 无关，也就是说无论圆盘多么小，这个等式都成立。注意到当半径${\displaystyle r}$ 趋于0的时候，函数${\displaystyle f}$ 在圆${\displaystyle C_{0}}$ 上的值基本上等于${\displaystyle f(a)}$ 。所以

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\oint _{C_{0}^{+}}{f(z) \over z-a}\,dz-2\pi if(a)\right|&=\left|\oint _{C_{0}^{+}}{f(z)-f(a) \over z-a}\,dz\right|\\&=\left|\int _{0}^{2\pi }{f(a+r\cdot e^{it})-f(a) \over a+r\cdot e^{it}-a}ri\cdot e^{it}\,dt\right|\qquad (z=a+r\cdot e^{it})\\&=\left|\int _{0}^{2\pi }\left[f(a+r\cdot e^{it})-f(a)\right]i\,dt\right|\\&\leqslant \int _{0}^{2\pi }\left|f(a+r\cdot e^{it})-f(a)\right|\,dt\\&\leqslant 2\pi \max _{0\leqslant t<2\pi }\left|f(a+r\cdot e^{it})-f(a)\right|{\xrightarrow[{r\to 0}]{}}0.\end{aligned}}}$ 

这说明

${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-a}\,dz={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{0}^{+}}{f(z) \over z-a}\,dz={1 \over 2\pi i}2\pi if(a)=f(a).\qquad \Box }$ ^[2]:168-169

考虑函数：${\displaystyle g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}}${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}  以及闭合区域：|z| = 2。这是一个以原点为圆心，半径为2的圆，以下记作${\displaystyle C}$ . 下面使用柯西积分公式计算${\displaystyle g(z)}$ 沿${\displaystyle C}$ 的积分。

首先，函数${\displaystyle g}$ 有两个极点，分别是方程${\displaystyle z^{2}+2z+2=0}$ 的两个复根：${\displaystyle z_{1}=-1+i,}$  ${\displaystyle z_{2}=-1-i.}$  它们的模长都小于2，所以都在${\displaystyle C}$ 的内部。函数可以写成${\displaystyle g}$ ：

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}.}$ 

${\displaystyle g}$ 在两个极点附近趋于无穷。在两个极点周围各作一个小圆圈：${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$ ，应用柯西积分定理可知，所要求的积分

${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz.}$ 

注意到函数${\displaystyle f_{1}={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}}$ 在${\displaystyle C_{2}}$ 内部是全纯函数，所以在${\displaystyle C_{2}}$ 上的积分：

${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{f_{1}(z) \over z-z_{2}}\,dz=2\pi if_{1}(z_{2}).}$ 

同理，函数${\displaystyle f_{2}={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$ 在${\displaystyle C_{1}}$ 内部是全纯函数，所以

${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{f_{2}(z) \over z-z_{1}}\,dz=2\pi if_{2}(z_{1}).}$ 

所以

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&=\oint _{C_{2}}g(z)\,dz+\oint _{C_{1}}g(z)\,dz.=2\pi if_{1}(z_{2})+2\pi if_{2}(z_{1})\\&=2\pi i\left({\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}+{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}\right)=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}-z_{2}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}=2\pi i\left(z_{1}+z_{2}\right)\\&=-4\pi i\end{aligned}}}$ 

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