里奇曲率张量

设 (M,g)是一个 n-维 黎曼流形。 记 T_pM 为 M 在 p 点的切空间， 任给切空间 T_pM 中的一对向量 ξ, η ，Ricci 张量 Ric(ξ,η) 在 p 点的值定义为 T_pM → T_pM 的线性映射 X_p → R(X_p ,η)ξ 的迹（trace），也就是说：

${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta ):=\operatorname {trace} \{X\mapsto R(X,\eta )\xi \}}$ 

右手边 R 是所谓黎曼曲率张量，而 X → R(X, η)ξ 是切空间之间的线性映射，所以可以计算这映射的迹。在局部坐标系下有

${\displaystyle \operatorname {Ric} =\sum _{ij}R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$ 

使用爱因斯坦求和约定的话，上式会写成：

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$ 

其中，

${\displaystyle R_{ij}=\sum _{k}{R^{k}}_{ikj}.}$ 

注意，之后的方程如果使用爱因斯坦求和约定，不会特别注明。

已经知道里奇张量 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\cdot ,\cdot )}$ ，现在就可以用里奇张量来定义里奇曲率。如果 ${\displaystyle X}$  为 ${\displaystyle p}$  点的单位向量，则

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$ 

定义为在点 ${\displaystyle p}$ ， ${\displaystyle X}$  方向的里奇曲率(Ricci curvature)，有时会把 ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Ric} (X,X)}$  写成 ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Ric} (X)}$  。也有些人会定义里奇曲率为 ${\displaystyle \,\textstyle {\frac {1}{n-1}}\operatorname {Ric} (X,X)}$  这里 ${\displaystyle \textstyle n=\dim M}$ 。

对于黎曼流形（M,g)里任意一点p的旁边可以定义被称为测地法座标系的局部座标系。这些通过p的测地线不但都对应着通过原点的直线，而且同时构成了从p的距离和从原点的欧几里得距离的对应。这个座标系的度量张量是

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O(|x|^{2})}$ 。

好处就是，此座标是欧几里得度量的良好近似。实际上，由于在法座标系的放射测地线产生的雅可比场适用的度量的泰勒展开，

可以得到${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})}$ 。

然后，在这个座标系，在p可以得到以下体积元素的展开。

${\displaystyle d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){\Big ]}d\mu _{\rm {Euclidean}}}$ 

然后，如果里奇曲率${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ 在向量${\displaystyle \xi }$ 的方向是正的，由于在M上从p向${\displaystyle \xi }$ 方向的短的测地线收束族扫过的圆锥区域的体积比在欧几里得空间对应的圆锥区域要小。如此类推，如果里奇曲率在给定的向量${\displaystyle \xi }$ 的方向是负的，流形同样的圆锥区域的体积比欧几里得空间对应的圆锥区域要大。

里奇曲率本质上就是包含${\displaystyle \xi }$ 的平面的曲率平均。也就是说最初是圆形（或者是球形）放射状的圆锥会扭曲未椭圆形状，沿着主轴的弯曲是相互相反的作用，而且有把体积变为零的可能性。然后里奇曲率沿着${\displaystyle \xi }$ 会变为零。在物理的应用，一定要变零的切断曲率的存在并不一定是局部性一定有什么质量。世界线圆锥最初的圆形的横切面是，要是变成了后来体积没变化的椭圆，这个效果就是来自其他位置的质量的潮汐效果。

在黎曼几何与广义相对论中，一个伪黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)${\displaystyle (M,g)}$ 之无迹的里奇张量(trace-free Ricci tensor)是一个定义如下的张量

${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {S}{n}}g}$ 

• 数量曲率
• 里奇流
• 克里斯托费尔符号

• A.L. Besse, Einstein manifolds, Springer (1987)
• L.A. Sidorov, Ricci tensor, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• L.A. Sidorov, Ricci curvature, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• G. Ricci, Atti R. Inst. Venelo , 53 : 2 (1903–1904) pp. 1233–1239
• L.P. Eisenhart, Riemannian geometry , Princeton Univ. Press (1949)
• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry , 1 , Interscience (1963)