度量张量

当选定一个局部坐标系统${\displaystyle x^{i}}$ ，度量张量为二阶张量一般表示为 ${\displaystyle \textstyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$ ，也可以用矩阵 ${\displaystyle (g_{ij})}$  表示，记作为G或g。而 ${\displaystyle g_{ij}}$  记号传统地表示度量张量的协变分量（亦为“矩阵元素”）。

${\displaystyle a}$  到 ${\displaystyle b}$  的弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt}$ 

两个切向量的夹角 ${\displaystyle \theta }$ ,设向量 ${\displaystyle \textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$  和 ${\displaystyle \textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$ ，定义为：

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}}$ 

若 ${\displaystyle f}$  为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  的局部微分同胚，其诱导出的度量张量的矩阵形式 ${\displaystyle G}$ ，由以下方程计算得出：

${\displaystyle G=J^{T}J}$ 

${\displaystyle J}$  表示 ${\displaystyle f}$  的雅可比矩阵，它的转置为 ${\displaystyle J^{T}}$ 。著名例子有 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  之间从极坐标 ${\displaystyle (r,\theta )}$  到直角坐标 ${\displaystyle (x,y)}$  的坐标变换，在这例子里有：

${\displaystyle x=r\cos \theta }$ 

${\displaystyle y=r\sin \theta }$ 

这映射的雅可比矩阵为

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$ 

所以

${\displaystyle G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }$ 

这跟微积分里极坐标的黎曼度量, ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ，一致。

欧几里德几何度量

二维欧几里德度量张量：

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

弧线长度转为熟悉微积分方程：

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx^{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx^{2}}{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}$ 

在其他坐标系统的欧氏度量：

极坐标系：${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )}$ 

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}}$ 

圆柱坐标系：${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)}$ 

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

球坐标系：${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )}$ 

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}$ 

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,}$ 

${\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

在一些习惯中，与上面相反地，时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号，故矩阵表示为：

${\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$ 

• 伪黎曼度量