循环连分数此条目需要扩充。 (2013年11月8日)请协助改善这篇条目,更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。循环连分数是一种可表示为以下形式的连分数: x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + ⋱ ⋱ a k + 1 a k + 1 + ⋱ ⋱ a k + m − 1 + 1 a k + m + 1 a k + 1 + 1 a k + 2 + 1 ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,} 前k+1个部分分母不算,后面的部分分母[ak+1, ak+2,…ak+m]会一直重复出现。例如 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 即可表示为循环连分数[1,2,2,2,...]。 循环连分数的部分分母{ai}可以是任何实数或虚数。 1770年,拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数,当且仅当此数为二次无理数[1]。例如 3 = 1.732 … = [ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , … ] {\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]} 。 文内注释 ^ Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.