布朗运动

自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：^[2]

1. 粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
2. 粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
5. 粒子的运动永不停止。

值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。

在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’^[3]、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以“外行人与专家之间”为题，解说有关布朗运动之误会。

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程式，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦的理论可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。^{[4][来源请求]} 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 10¹⁴ 次撞击。^[5] 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动^{[来源请求]}。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（${\displaystyle \Delta }$  或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$ 。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}$ 

第一行中的第二个等式是被 ${\displaystyle \varphi }$  这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}}$ 

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 ${\displaystyle \Delta }$ ，让 D 为质量扩散系数：

${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta }$ 

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$ 

假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解

${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}$ 

定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

1. 这个鞅是关于时间连续的。
2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

${\displaystyle (M_{t})}$ 是一个布朗运动当且仅当${\displaystyle (M_{t})}$ 为鞅，且${\displaystyle (M_{t}^{2}-t)}$ 也为鞅.

其他定义

一维的定义

一维布朗运动${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ 是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量${\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$ 独立于时间s前的过程${\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$ 。
2. （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量${\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$ 服从均值为0方差为t−s的正态分布。
3. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ 几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数${\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ 是连续的.
4. 通常假设${\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0}$ 。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ 是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ 是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：${\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}$ ,随机向量：${\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}$ 服从高维高斯分布（正态分布）。
2. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ 几乎处处连续。
3. 对于所有s和t,均值${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$ ，协方差${\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$ .

高维定义

${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}$ 是d维布朗运动，只需满足${\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}$ 为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ，而它在${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}$ 空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$ 为从${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}}$ 到${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ 的连续函数空间，${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}$ 为概率空间。布朗运动为映射

${\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$ 

          ${\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)}$ .

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为${\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )}$ ,是映射B关于${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )}$ 的图测度。

换句话说， W是${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$ 上的一个概率测度，满足对于任何${\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$ ，有

${\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}$ 。

备忘

• 布朗运动是一种增量服从正态分布的莱维过程。
• 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
• 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为${\displaystyle t}$ 的随机过程为布朗运动。

性质

• 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何${\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega }$ ,轨道${\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ 为一个连续但是零可微的函数。
• 协方差${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$ 。
• 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件${\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}$ ,过程${\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}$ 为一个独立于${\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}}$ 的布朗运动。
• 它的Fourier变换或特征函数为${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}$ 。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
• 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}$ 是一个独立于${\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$ 的布朗运动。
• -B是一个布朗运动。
• （稳定性） 对于c > 0， ${\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}$ 是布朗运动。
• （时间可逆性）${\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}$ 在t=0之外是布朗运动。
• （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

      如果${\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}}$ ,集合${\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}}$ 不是有界的，对于任何${\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ ，

      如果${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty }$ （几乎处处）。

• （反射原理）

${\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}$ 

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

设${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}}$ 为${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}$ 空间中一列实值函数。设：

这列函数满足：

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}$ ，任意的${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}$ ,矩阵${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$ 为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程${\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ，它的均值${\displaystyle m}$ 任意， 协方差为上面定义的${\displaystyle s}$ 。

当${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ，${\displaystyle c>0}$ 为不依赖于t的常数，${\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}$ 为${\displaystyle [0,t]}$ 上的示性函数。则：

在这个情况下，矩阵${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$ 是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。${\displaystyle c=Var(B_{1})}$ ，当${\displaystyle c=1}$ 时， 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}$ 

其中（U_n, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ 随机变量序列${\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )}$ 和${\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )}$ 。定义${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ ：

${\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}$ 

为布朗运动。

• 维纳过程

• 漫谈布朗运动 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Brownian motion - an overview