极大环面

李群${\displaystyle G}$ 中的子环（面）是一个连通紧阿贝尔李子群，这类子群必然同构于环面${\displaystyle T^{n}}$ 。极大环面是其中维度最大者。非紧子群未必有极大环面（例如${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ）。

对于紧李群，极大子环对应到李代数中的极大阿贝尔子代数。任意子环皆包含于某个极大子环，任两个极大子环彼此共轭。极大子环的维度称为该群的秩。

设${\displaystyle G}$ 为${\displaystyle S}$ 上的群概形，若存在平展拓扑中的覆盖${\displaystyle S'\to S}$ ，使得${\displaystyle G_{S'}:=G\times _{S}S'}$ 同构于${\displaystyle \mathbb {G} _{m,S'}:=\mathbb {G} _{m}\times S'}$ ，其中${\displaystyle \mathbb {G} _{m}:=\mathrm {Spec} \mathbb {Z} [T,T^{-1}]}$ 配上自然的群结构，则称${\displaystyle G}$ 是环面。若${\displaystyle G\simeq \mathbb {G} _{m,S}}$ ，称${\displaystyle G}$ 为可对角化或子环（面）。

今设${\displaystyle G\to S}$ 为平滑仿射态射。较常见的情形是${\displaystyle S=\mathrm {Spec} K}$ ，其中${\displaystyle K}$ 是域。此时极大子环的定义同于李群。对于一般的基${\displaystyle S}$ ，子群概形${\displaystyle T\subset G}$ 是极大子环意谓著：对每个几何点${\displaystyle {\bar {s}}\to S}$ ，其几何纤维${\displaystyle T_{\bar {s}}\to G_{\bar {s}}}$ 是前述意义下的极大子环。在平展拓扑下，极大子环“局部上”两两共轭。

对于可简约${\displaystyle S}$ -代数群${\displaystyle G}$ ，极大子环对${\displaystyle S}$ 局部上存在。透过极大子环，可以定义根资料，继而开展约化群的分类理论。

• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction（2004）, Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, xv+564.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, ix+654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, vii+529.