在数学的代数群领域中,根资料(原文为法文donnée radicielle)是一个连通、分裂、可简约代数群的不变量。对于可简约代数群,根资料是比根系更精细的不变量,若假设连通性,则它决定了代数群的结构(至多差一个同构)。根资料的定义首见于M. Demazure在SGA III中的阐述,于1970年出版。
定义
根资料是一组资料 ,其中:
- 是有限秩自由阿贝尔群,其间有一个配对 使两者互为对偶。
- 是 的有限子集, 是 的有限子集,并存在其间的双射 。
- 对任意 ,有 。
- 对任意 ,根镜射 导出根资料的自同构(换言之:它将 一一映至 ,而在 上导出的对偶映射则将 一一映至 )。
- 类似地,对任意 ,余根镜射 导出根资料的自同构。
的元素称作该根资料的根, 的元素称为余根。
若 不包含任意根的两倍,则称此根资料为既约的。
设 。若 ,称此根资料为半单的,
从根资料到根系
对于根资料 ,取 为 在 中生成的子群,并设 ;利用对偶性,同样可定义 。可证明 , 在 中的指数为有限的;因此 可视为 的对偶空间。可证明 成为一个根系。
与约化代数群的关系
设 是域 上的约化代数群,并具有在 上分裂的极大环面 。定义相应的根资料 为
- (极大环面的特征标)
- (极大环面的余特征标,或者说是其中的单参数子群)
- 是资料 的根。
- 是相应的余根。
代数封闭域上的连通、约化代数群由其根资料决定。反之,给定任一组根资料,存在与之匹配的连通、约化代数群。根资料比根系及丹金图精确,因为它不仅刻划了群的李代数结构,还刻划了群的中心。
对偶性
给定任一根资料 ,借着将 对换,将 对换,可以得到新的根资料,称为其对偶。
若 是代数封闭域 上的连通、约化代数群,则根资料的对偶决定了复数域 上唯一的连通、约化、分裂代数群LG,称为 的郎兰兹对偶群。
文献