根资料

数学代数群领域中,根资料(原文为法文donnée radicielle)是一个连通、分裂、可简约代数群的不变量。对于可简约代数群,根资料是比根系更精细的不变量,若假设连通性,则它决定了代数群的结构(至多差一个同构)。根资料的定义首见于M. Demazure在SGA III中的阐述,于1970年出版。

定义

根资料是一组资料 ,其中:

  •  是有限秩自由阿贝尔群,其间有一个配对 使两者互为对偶。
  •   的有限子集,  的有限子集,并存在其间的双射 
  • 对任意 ,有 
  • 对任意 根镜射 导出根资料的自同构(换言之:它将 一一映至 ,而在 上导出的对偶映射则将 一一映至 )。
  • 类似地,对任意 余根镜射 导出根资料的自同构。

 的元素称作该根资料的 的元素称为余根

 不包含任意根的两倍,则称此根资料为既约的。

 。若 ,称此根资料为半单的,

从根资料到根系

对于根资料 ,取   中生成的子群,并设 ;利用对偶性,同样可定义 。可证明   中的指数为有限的;因此 可视为 的对偶空间。可证明 成为一个根系

与约化代数群的关系

 是域 上的约化代数群,并具有在 上分裂的极大环面 。定义相应的根资料 

  •  (极大环面的特征标
  •  (极大环面的余特征标,或者说是其中的单参数子群
  •  是资料 的根。
  •  是相应的余根。

代数封闭域上的连通、约化代数群由其根资料决定。反之,给定任一组根资料,存在与之匹配的连通、约化代数群。根资料比根系丹金图精确,因为它不仅刻划了群的李代数结构,还刻划了群的中心。

对偶性

给定任一根资料 ,借着将 对换,将 对换,可以得到新的根资料,称为其对偶。

 是代数封闭域 上的连通、约化代数群,则根资料的对偶决定了复数域  上唯一的连通、约化、分裂代数群LG,称为 郎兰兹对偶群

文献