圆锥曲线

设${\displaystyle F}$ 为定点，${\displaystyle l}$ 为定直线，${\displaystyle e}$ 为正常数，称满足${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e}$ 的动点${\displaystyle P}$ 的轨迹为圆锥曲线。

其中${\displaystyle F}$ 为其焦点，${\displaystyle l}$ 为准线，${\displaystyle e}$ 为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为${\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )}$ 或${\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}}$ （正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中${\displaystyle \theta }$ 为${\displaystyle PF}$ 与极轴的夹角，${\displaystyle d}$ 为定直线${\displaystyle x=d}$ ，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当${\displaystyle e=1}$ 时，曲线为抛物线。

当${\displaystyle e\neq 1}$ 时，

当${\displaystyle 0<e<1}$ 时，曲线为椭圆。

当${\displaystyle e>1}$ 时，曲线为双曲线。

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

椭圆（ellipse）

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola）

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola）

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

离心率

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是${\displaystyle a/e\ }$ ，这里的${\displaystyle a\ }$ 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是${\displaystyle ae\ }$ 。

在圆的情况下，${\displaystyle e=0}$ 且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的${\displaystyle a\ }$ ，${\displaystyle e\ }$ 越接近于1，半短轴就越小。

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

${\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ 

此处参数${\displaystyle A\,}$ ，${\displaystyle B\,}$ 和${\displaystyle C\,}$ 不得皆等于${\displaystyle 0\ }$ 。

矩阵表示

上述方程可以使用矩阵表示为^[1]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}$ 

亦可以写作

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}$ 

这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)

下文中记${\displaystyle A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]}$ ，记${\displaystyle A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$ 。

类别

借由${\displaystyle A_{Q}}$ ，我们可以判定圆锥曲线是否退化。

• 若${\displaystyle \det(A_{Q})=0}$ ，则圆锥曲线${\displaystyle Q}$ 退化。
• 若${\displaystyle \det(A_{Q})\neq 0}$ ，则圆锥曲线${\displaystyle Q}$ 未退化。

若圆锥曲线未发生退化，则^[2]

• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})>0}$ , 方程表示一个椭圆；
  • 对于椭圆，当${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})<0}$ 时，${\displaystyle Q}$ 为一个实椭圆；当${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})>0}$ 时${\displaystyle Q}$ 为一个虚椭圆。（例如，${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0}$ 没有任何实值解，是一个虚椭圆）
  • 特别的，若${\displaystyle A=C}$  ，${\displaystyle B=0}$ 且${\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,}$ ，作为椭圆的特殊情况，${\displaystyle Q}$ 表示一个圆。
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$ ，${\displaystyle Q}$ 表示一条抛物线；
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})<0}$ ，${\displaystyle Q}$ 表示一条双曲线；
  • 若${\displaystyle A+C=0}$  ，${\displaystyle Q}$ 表示一条直角双曲线。

若圆锥曲线发生退化，则

• 若${\displaystyle \det(A_{33})>0}$ ，作为椭圆的退化，${\displaystyle Q}$ 为一个点。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})=0}$ ，作为抛物线的退化，${\displaystyle Q}$ 为两条平行直线。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}$ ，${\displaystyle Q}$ 为两条不重合的平行直线。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}$ ，${\displaystyle Q}$ 为两条重合的平行直线。（特别的，此时${\displaystyle A_{Q}}$ 的秩为1）
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}$ ，${\displaystyle Q}$ 直线不存在与实平面中。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})<0}$ ，作为双曲线的退化，${\displaystyle Q}$ 为两条相交直线。（同时，也是双曲线的渐近线）

在此处的表达中，${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 为多项式系数，而非半长轴${\displaystyle A}$ 和半短轴${\displaystyle B}$ 。

不变量

矩阵${\displaystyle A_{Q}}$ 、${\displaystyle A_{33}}$ 的行列式，以及${\displaystyle A+C}$ （${\displaystyle A_{33}}$ 的迹）在任意的旋转和坐标轴的交换中保持不变。^{[2][3][4] [5]:60–62页} 常数项${\displaystyle F}$ 以及${\displaystyle D^{2}+E^{2}}$ 仅在旋转中保持不变。^{[5]:60–62页}

离心率

${\displaystyle Q}$ 的离心率可被写作关于${\displaystyle Q}$ 系数的函数。^[6] 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$ ，${\displaystyle Q}$ 为 抛物线，其离心率为1。其它情况下，假设${\displaystyle Q}$ 表达一个未退化的椭圆或双曲线，那么

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$ 

此处若${\displaystyle \det(A_{Q})}$ 为负则${\displaystyle \eta =1}$ ；若${\displaystyle \det(A_{Q})}$ 为正则${\displaystyle \eta =-1}$ 。

此外，离心率${\displaystyle e}$ 也是下述方程的一个正根^[5]:89页

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$ 

此处 ${\displaystyle \Delta =\det(A_{33})}$  。对于椭圆或抛物线，该方程只有一个正根，即其离心率；对于双曲线，其有两个正根，其中的一个为其离心率。

变换为标准方程

对于椭圆或双曲线，${\displaystyle Q}$ 可用变换后的变量${\displaystyle x',y'}$ 表示为如下所示的标准形式^[7]

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,}$ 

或等价的

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,}$ 

此处，${\displaystyle \lambda _{1}}$ 和${\displaystyle \lambda _{2}}$ 为${\displaystyle A_{33}}$ 的特征值，也即下述方程的两根：

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$ 

同时，${\displaystyle S=\det(A_{Q})}$ ，${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})}$ 。

透过坐标变换，各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式：

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为${\displaystyle \ell }$ ，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴${\displaystyle a}$ ，和半短轴${\displaystyle b}$ ，通过公式${\displaystyle a\ell =b^{2}\ }$ 或${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ }$ 。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

${\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}$ ，

或者，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )}$ ，

如上，对于${\displaystyle e=0}$ 得到一个圆，对于${\displaystyle 0<e<1}$ 得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$ 得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$ 得到双曲线。

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;}$ 

或表示为矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$ 

矩阵${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$ 叫做“圆锥曲线矩阵”。

${\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}}$ 叫做圆锥曲线的行列式。如果${\displaystyle \Delta =0}$ 则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$ 退化为两相交直线：${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$ 。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: ${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$ 。

${\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}}$ 被称为圆锥曲线的判别式。如果${\displaystyle \delta =0}$ 则圆锥曲线是抛物线，如果${\displaystyle \delta <0}$ 则是双曲线，如果${\displaystyle \delta >0}$ 则是椭圆。如果${\displaystyle \delta >0}$ 且${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$ ，圆锥曲线是圆；如果${\displaystyle \delta <0}$ 且${\displaystyle A_{1}=-A_{2}}$ ，它是直角双曲线。可以证明在复射影平面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ 中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根${\displaystyle >1}$ 的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是${\displaystyle (1,i,0)}$ 和${\displaystyle (1,-i,0)}$ ，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

1. ^ Brannan, Esplen & Gray 1999，第30页 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help)
2. ^ ^{2.0 2.1} Protter & Morrey 1970，第326页 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help)
3. ^ Wilson & Tracey 1925，第153页 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help)
4. ^ Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
5. ^ ^{5.0 5.1 5.2} Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. ^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
7. ^ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

• Conic sections（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Special plane curves（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Focus. MathWorld. 
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.