实射影平面

考虑一个球面，设球面的大圆（假设地球是一个球形，那么赤道就是大圆）是“直线”，对径点对是“点”（一对对径点是通过大圆圆心的直线与大圆相交的两个点）。容易验证它们满足射影平面所需的公理：

• 任何两个不同的大圆交于一对对径点；
• 任何两个不同的对径点对位于惟一一个大圆上。

这就是实射影平面。

如果我们将球面上每个点与其对径点等同，则我们得到了实射影平面的一个表示，其中射影空间的“点”确实是点。

射影平面是球面在等价关系~下的商空间，这个等价关系~就是对径关系，即 x ~ y当且仅当y = −x。这个球面的商空间同构于R³中所有通过原点的直线的集合。

所得的曲面是一个2维紧不可定向流形，有一点难以想象，因为它不能无自交地嵌入三维欧几里得空间中。

从球面到实射影平面的商映射事实上是一个（2对1）覆盖映射。从而实射影平面的基本群是二阶循环群，即整数模2群。可以取上图中的环路AB作为生成元。

射影平面不能嵌入（这要求没有自交）三维空间，不过可以浸入（局部邻域没有自交点）。伯伊曲面（英语：Boy's surface）是浸入的一个实例。

罗马曲面（英语：Roman surface）是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含一个交叉帽（英语：cross-cap）。同样对具有一个交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三维欧几里得空间，可作如下证明：假设可以嵌入，由广义若尔当曲线定理它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位法向量场将给出边界流形的一个定向，但边界流形就是射影平面，它是不可定向的。这是一个矛盾，从而我们所假设的嵌入必定是错误的。

实射影平面的一个多面体半形表示是四面半六面体。

从相反的方向来看，立方体半形、十二面体半形以及二十面体半形、抽象正则多面体（英语：Abstract polytope），都可以构造成射影平面中的正则图形。

平面中的直线集合可以用齐次坐标表示。直线ax+by+c=0可以表示为[a:b:c]。这些坐标有等价关系，对所有非零d，[a:b:c] = [da:db:dc]。从而相同直线的不同表示dax+dby+dc=0有同样的坐标。坐标集合[a:b:1]给出了通常实平面，而坐标集合[a:b:0]定义了一个无穷远直线。

射影平面可嵌入一个4维欧几里得空间。考虑${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ 是2维球面${\displaystyle S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}$ 由对径关系${\displaystyle (x,y,z)\sim (-x,-y,-z)\,}$ 得到的商。考虑由${\displaystyle (x,y,z)\longmapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)}$ 给出的函数${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}}$ 。将这个映射限制在区域${\displaystyle S^{2}}$ 上，因为它是一个二次多项式，故可分解，给出一个映射${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$ ，并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到${\displaystyle R^{3}}$ 的投影，即罗马曲面。

基本多边形一文提供了高阶亏格实射影平面的一个描述。

• 射影空间
• 实射影平面的蒲不等式（蒲保明）

• 埃里克·韦斯坦因. Real Projective Plane. MathWorld. 
• 尤承业, 基础拓扑学讲义, 北京大学出版社, 2004年, ISBN 7-301-03103-3