中值定理

微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端点的可微曲线，两端点之中必然有一点，它的斜率与连接两端点的直线斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

当提到中值定理时在没有特别说明下一般指拉格朗日中值定理。

罗尔中值定理

如果函数${\displaystyle f(x)}$ 满足

1. 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上连续；
2. 在开区间${\displaystyle (a,b)}$ 内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ，

那么在${\displaystyle (a,b)}$ 内至少有一点${\displaystyle \xi (a<\xi <b)}$ ，使得${\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}$ 。这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理（中值定理）

令${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$ 为闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的一个连续函数，且在开区间${\displaystyle (a,b)}$ 内可导，其中${\displaystyle a<b}$ 。那么在${\displaystyle (a,b)}$ 上存在某个${\displaystyle c}$ 使得

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

此定理称为拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$  在 ${\displaystyle [a,b]}$  连续，且在开区间 ${\displaystyle (a,b)}$  内对任意一点 ${\displaystyle x}$ ，极限

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ 

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于${\displaystyle f'(x)}$ 。这版本定理应用的一个例子是函数 ${\displaystyle x\to x^{1/3}}$ ，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是复数而不是实数，则上面这定理就未必正确。例如，对实数 ${\displaystyle x}$  定义${\displaystyle f(x)=e^{ix}}$ 。那么

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)}$ 

因${\displaystyle |f'(x)|=1\neq 0}$  时，${\displaystyle c}$  为开区间 ${\displaystyle (0,2\pi )}$  中任意一点。

柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式。它叙述为：如果函数 f 和 g 都在闭区间[a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 上可微，那么存在某个 c ∈ (a,b)，使得

${\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,}$ 

当然，如果g(a) ≠ g(b) 且 g′(c) ≠ 0，则可表示成：

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$ 

在几何上，这表示曲线

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$ 

上存在一点其切线平行于由两点 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所连接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下这种切线都存在，因为可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

${\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}$ 

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0)，却并无一个水平切线，然而它在 t = 0处有一个驻点(实际上是一个尖点)。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。(拉格朗日)中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

积分第一中值定理

设${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ 为一连续函数，${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ 要求${\displaystyle g(x)}$ 是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ 使得

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ 。

证明

在不失去一般性的条件下，设对所有${\displaystyle x}$ ，有${\displaystyle g(x)\geq 0}$ ； 因为${\displaystyle f}$ 是闭区间上的连续函数，${\displaystyle f}$ 取得最大值${\displaystyle M}$ 和最小值${\displaystyle m}$ 。于是

${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$ 。

对不等式求积分，我们有

${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ 。

若${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0}$ ，则${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0}$ 。${\displaystyle \xi }$ 可取${\displaystyle [a,b]}$ 上任一点。

若不等于零那么${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx>0}$ ，

${\displaystyle m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M}$ 。

因为${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$ 是连续函数，根据介值定理，则必存在一点${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ ，使得

${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}$ 。

${\displaystyle g(x)<0}$ 的情况按同样方法证明。

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令${\displaystyle g(x)=1}$ ，则可得出：

设${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$ 为一连续函数，则∃${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ ，使

${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}$ 

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设${\displaystyle F(x)}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上可导，${\displaystyle f(x)=F^{\prime }(x)}$ ，则∃${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ ，使

${\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}$ 

积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}$ ；

退化态的几何意义

令g(x)=1，则原公式可化为：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}$ ；

进而导出：

${\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}$ ；

此时易得其几何意义为： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

应用

关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

• 罗尔定理
• 柯西中值定理
• 介值定理
• 极值定理