完美长方体

Euler brick with edges a,b,c and face diagonals d,e,f

完美长方体,又称完美盒,指棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体。

求完美长方体的棱长,即求下列方程组之正整数解:

注:a、b、c是棱长,d、e、f是面对角线长,g是体对角线长。

它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。

未解决的数学问题完美长方体存在吗? Question mark2.svg

截至2015年5月,还没有找到任何完美长方体,亦未有人证明完美长方体不存在。经由电脑搜寻显示,若存在完美长方体,其中一个边长需大于3·1012[1][2],且最小边长需大于1010[3]。现时只找到一些接近完美盒,例如其中一边是无理数,其他边和对角线均为整数的例子,如: 棱长分别为672、153与104,其面对角线分别为、680与185,体对角线为697。

另外,亦有面、体对角线均为整数,但棱长只有两个是整数,另一条是无理数的例子。如:

棱长为18720、与7800这个例子。

完美平行六面体

一个完美平行六面体为边长、面对角线长及体对角线长皆为整数的平行六面体。平行六面体的角度不需要是整数,故完美长方体可视为完美平行六面体的特例。在2009年发现了数十个完美平行六面体的例子。[4]

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参考文献

  1. ^ Durango Bill. The “Integer Brick” Problem页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Perfect Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ Randall Rathbun, Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.
  4. ^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220 . doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .