迪尼定理

我们对单调递增的函数列作证明：对于任意 ${\displaystyle \varepsilon >0}$  ，对每个 n ，设 ${\displaystyle \ g_{n}=f-f_{n}}$  再设${\displaystyle \ E_{n}}$ 为使得${\displaystyle \ g_{n}(x)<\varepsilon .}$  的${\displaystyle x\in X}$ 。显然每个${\displaystyle g_{n}}$  都连续，于是每个${\displaystyle E_{n}}$  都是开集（在拓扑空间中，连续函数被定义为使得开集的原像都是开集的函数，可以证明这种定义和一般的连续定义是等价的，而${\displaystyle [0,\varepsilon )}$ 是正实数集中的开集）。函数列{${\displaystyle g_{n}}$ } 是单调递减的，因此${\displaystyle E_{n}}$  是${\displaystyle E_{n+1}}$  的子集。又由于 ${\displaystyle \ f_{n}}$  逐点收敛到 f ，所有（${\displaystyle E_{n}}$ ） 的并集是 X 的一个开覆盖。但是 X 是一个紧集于是存在正整数 N 使得${\displaystyle E_{N}=X}$ 。因此对所有 ${\displaystyle n>N}$ ，对所有的 ${\displaystyle x\in X}$ ，都有 ${\displaystyle 0<g_{n}(x)=f(x)-f_{n}(x)<\varepsilon }$ ，于是{${\displaystyle f_{n}}$ } 一致收敛于 f 。

• 拓扑空间
• 一致收敛