积分判别法

非负递减时,级数收敛当且仅当积分有限。

它最早可追溯到14世纪印度数学家Madhava和他的Kerala学派[来源请求]在欧洲17、18世纪,马克劳林奥古斯丁·路易·柯西重新发现了这个方法。

证明

考虑如下积分

 

注意 单调递减,因此有:

 

进一步地,考虑如下求和:

 

中间项的和为:

 

对上述不等式取极限 ,有:

 

因此,若积分 收敛,则无穷级数 收敛;若积分发散,则此级数发散。

例子

调和级数

是发散的,因为它的原函数是自然对数

 ,当 时。

而以下的级数

 

则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:

 ,对于所有 

参考