当非负递减时,级数收敛当且仅当积分有限。
它最早可追溯到14世纪印度数学家Madhava和他的Kerala学派。[来源请求]在欧洲17、18世纪,马克劳林和奥古斯丁·路易·柯西重新发现了这个方法。
证明
考虑如下积分
-
注意 单调递减,因此有:
-
进一步地,考虑如下求和:
-
中间项的和为:
-
对上述不等式取极限 ,有:
-
因此,若积分 收敛,则无穷级数 收敛;若积分发散,则此级数发散。
例子
调和级数
-
是发散的,因为它的原函数是自然对数。
- ,当 时。
而以下的级数
-
则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:
- ,对于所有
参考
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073