Hinge loss

二元支持向量机经常通过一对多（winner-takes-all strategy，WTA SVM）或一对一（max-wins voting，MWV SVM）策略来扩展为多元分类，^[2] 铰接损失也可以做出类似的扩展，已有数个不同的多元分类铰接损失的变体被提出。^[3] 例如，Crammer 和 Singer ^[4] 将一个多元线性分类的铰链损失定义为^[5]

${\displaystyle \ell (y)=\max(0,1+\max _{y\neq t}\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )}$ 

其中 ${\displaystyle t}$  为目的标签， ${\displaystyle \mathbf {w} _{t}}$  和 ${\displaystyle \mathbf {w} _{y}}$  该模型的参数。

Weston 和 Watkins 提出了一个类似的定义，但使用求和代替了最大值：^[6][3]

${\displaystyle \ell (y)=\sum _{y\neq t}\max(0,1+\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )}$ 

在结构预测中，铰接损失可以进一步扩展到结构化输出空间。支持间隔调整的结构化支持向量机 可以使用如下所示的铰链损失变体，其中 w 表示SVM的参数， y 为SVM的预测结果，φ 为联合特征函数，Δ 为汉明损失:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\mathbf {y} )&=\max(0,\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle -\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\\&=\max(0,\max _{y\in {\mathcal {Y}}}\left(\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle \right)-\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\end{aligned}}}$ 

铰链损失是一种凸函数，因此许多机器学习中常用的凸优化器均可用于优化铰链损失。 它不是可微函数，但拥有一个关于线性 SVM 模型参数 w 的次导数

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial w_{i}}}={\begin{cases}-t\cdot x_{i}&{\text{if }}t\cdot y<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ 

其评分函数为 ${\displaystyle y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} }$ 

然而，由于铰接损失在 ${\displaystyle ty=1}$ 处不可导， Zhang 建议在优化时可使用平滑的变体建议，^[7] 如Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑^[8]

${\displaystyle \ell (y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-ty&{\text{if}}~~ty\leq 0,\\{\frac {1}{2}}(1-ty)^{2}&{\text{if}}~~0<ty\leq 1,\\0&{\text{if}}~~1\leq ty\end{cases}}}$ 

或平方平滑。

${\displaystyle \ell _{\gamma }(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2\gamma }}\max(0,1-ty)^{2}&{\text{if}}~~ty\geq 1-\gamma \\1-{\frac {\gamma }{2}}-ty&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ 

Modified Huber loss ${\displaystyle L}$ 是${\displaystyle \gamma =2}$ 时损失函数的特例，此时 ${\displaystyle L(t,y)=4\ell _{2}(y)}$ 中。