Hinge loss

机器学习中,铰链损失是一个用于训练分类器的损失函数。铰链损失被用于“最大间格分类”,因此非常适合用于支持向量机 (SVM)。[1] 对于一个预期输出 ,分类结果 的铰链损失定义为

t = 1 时变量 y(水平方向)的铰链损失(蓝色,垂直方向)与0/1损失(垂直方向;绿色为 y < 0 ,即分类错误)。注意铰接损失在 abs(y) < 1 时也会给出惩罚,对应于支持向量机中间隔的概念。

特别注意:以上式子的应该使用分类器的“原始输出”,而非预测标签。例如,在线性支持向量机当中,,其中 超平面参数,是输入资料点。

同号(意即分类器的输出是正确的分类),且 时,铰链损失 。但是,当它们异号(意即分类器的输出是错误的分类)时, 线性增长。套用相似的想法,如果 ,即使 同号(意即分类器的分类正确,但是间隔不足),此时仍然会有损失。

扩展

二元支持向量机经常通过一对多(winner-takes-all strategy,WTA SVM)或一对一(max-wins voting,MWV SVM)策略来扩展为多元分类[2] 铰接损失也可以做出类似的扩展,已有数个不同的多元分类铰接损失的变体被提出。[3] 例如,Crammer 和 Singer [4] 将一个多元线性分类的铰链损失定义为[5]

 

其中   为目的标签,    该模型的参数。

Weston 和 Watkins 提出了一个类似的定义,但使用求和代替了最大值:[6][3]

 

在结构预测中,铰接损失可以进一步扩展到结构化输出空间。支持间隔调整的结构化支持向量机 可以使用如下所示的铰链损失变体,其中 w 表示SVM的参数, y 为SVM的预测结果,φ 为联合特征函数,Δ汉明损失:

 

优化算法

铰链损失是一种凸函数,因此许多机器学习中常用的凸优化器均可用于优化铰链损失。 它不是可微函数,但拥有一个关于线性 SVM 模型参数 w次导数

 

评分函数 

 
三个铰链损失的变体 z = ty:“普通变体”(蓝色),平方变体(绿色),以及 Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑变体(红色)。

然而,由于铰接损失在  处不可导, Zhang 建议在优化时可使用平滑的变体建议,[7] 如Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑[8]

 

或平方平滑。

 

Modified Huber loss   时损失函数的特例,此时  中。

参考文献

  1. ^ Rosasco, L.; De Vito, E. D.; Caponnetto, A.; Piana, M.; Verri, A. Are Loss Functions All the Same? (PDF). Neural Computation. 2004, 16 (5): 1063–1076 [2019-06-04]. PMID 15070510. doi:10.1162/089976604773135104. (原始内容存档 (PDF)于2020-01-11). 
  2. ^ Duan, K. B.; Keerthi, S. S. Which Is the Best Multiclass SVM Method? An Empirical Study (PDF). Multiple Classifier Systems. LNCS 3541. 2005: 278–285 [2019-06-04]. ISBN 978-3-540-26306-7. doi:10.1007/11494683_28. (原始内容存档 (PDF)于2017-08-08). 
  3. ^ 3.0 3.1 Doğan, Ürün; Glasmachers, Tobias; Igel, Christian. A Unified View on Multi-class Support Vector Classification (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2016, 17: 1–32 [2019-06-04]. (原始内容存档 (PDF)于2018-05-05).  引用错误:带有name属性“unifiedview”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  4. ^ Crammer, Koby; Singer, Yoram. On the algorithmic implementation of multiclass kernel-based vector machines (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2001, 2: 265–292 [2019-06-04]. (原始内容存档 (PDF)于2015-08-29). 
  5. ^ Moore, Robert C.; DeNero, John. L1 and L2 regularization for multiclass hinge loss models (PDF). Proc. Symp. on Machine Learning in Speech and Language Processing. 2011 [2019-06-04]. (原始内容存档 (PDF)于2017-08-28). 
  6. ^ Weston, Jason; Watkins, Chris. Support Vector Machines for Multi-Class Pattern Recognition (PDF). European Symposium on Artificial Neural Networks. 1999 [2019-06-04]. (原始内容存档 (PDF)于2018-05-05). 
  7. ^ Zhang, Tong. Solving large scale linear prediction problems using stochastic gradient descent algorithms (PDF). ICML. 2004 [2019-06-04]. (原始内容存档 (PDF)于2019-06-04). 
  8. ^ Rennie, Jason D. M.; Srebro, Nathan. Loss Functions for Preference Levels: Regression with Discrete Ordered Labels (PDF). Proc. IJCAI Multidisciplinary Workshop on Advances in Preference Handling. 2005 [2019-06-04]. (原始内容存档 (PDF)于2015-11-06).