计价标准

计价标准（英语：numéraire）是计算值的基本标准。在数理经济学中，它是一个可交易的经济实体，就价格而言，计价标准用来表示所有其他可交易品的相对价格。在货币经济学中，货币的其中一种功能即是扮演计价标准的角色。货币可以充当记账单位（英语：Unit of account），提供人们衡量各种商品和服务的价值的共同基准。无论是货币还是某些消费品，当只有价格是唯一攸关时，使用计价商品可以帮助比较价值，可参考一般均衡理论。在经济分析中，当我们指称一特定商品为计价标准，所有其他商品的价格将根据该计价商品进行“标准化”（normalization）。例如，如果一件商品 g 的市场价值为计价标准的两倍，则 g 的相对价格为2。由于每个单位的计价标准值相对于其自身的一个单位值是1，因此计价标准的恒为1。

计价标准的计算

需要定义本节中的表示法。

在拥有交易证券的金融市场中，人们可以使用计价标准的变更来定价资产。例如，在时间为0时投资1美元于货币市场，则在时间为 $t$ 时符合此算式 $M(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds\right)$ 。此外资产定价的基本定理（英语：Fundamental theorem of asset pricing）表明，所有按货币市场定价的资产 ( $S(t)$ )是遵循风险中性措施（英语：risk-neutral measure）( $Q$ )的鞅。那就是 ${\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[\left.{\frac {S(T)}{M(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\qquad \forall \,t\leq T.$ 现在，假设 $N\left(t\right)>0$ 是另一种完全正面的交易资产（也就是在按货币市场定价时是鞅）。

然后，透过拉东-尼科迪姆定理，我们可以定义一个新的概率测量 $Q^{N}$ ，

${\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}.$

再借由拉东-尼科迪姆定理可以证明当新的计价标准 $N(t)$ 定价时， $S(t)$ 是 $Q^{N}$ 下的鞅：

${\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[\left.{\frac {S(T)}{N(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\\&=E_{Q}\left[\left.{\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]/E_{Q}\left[\left.{\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[\left.{\frac {S(T)}{M(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}={\frac {S(t)}{N(t)}}.\end{aligned}}$

该技术在伦敦同业拆放利率（英语：LIBOR）和掉期交易的市场模型以及商品市场都具有许多重要的应用。Farshid Jamshidian（英语：Farshid Jamshidian）（1989）首先在赫尔怀特模型的背景下使用它来计算债券期权价格。格曼，妮可·厄尔·卡露伊和Rochet（1995）介绍了改变计价标准技术的一般形式框架。有关更改计价标准工具包的信息，请参阅Brigo和Mercurio（2001）。

参见

物价指数
远期测度（英语：Forward measure）
价值尺度（英语：Unit of account）

参考资料

Farshid Jamshidian（英语：Farshid Jamshidian）. An Exact Bond Option Pricing Formula. The Journal of Finance. 1989, 44: 205–209. doi:10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x.
Helyette Geman（英语：Helyette Geman）; Nicole El Karoui; J.C. Rochet. Changes of Numeraire, Changes of Probability Measures and Pricing of Options. Journal of Applied Probability. 1995, 32: 443–458. doi:10.2307/3215299.
Damiano Brigo（英语：Damiano Brigo）; Fabio Mercurio（英语：Fabio Mercurio）. Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit 2. Springer Verlag. 2006 [2001]. ISBN 978-3-540-22149-4.