布朗桥

标准的布朗桥 ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t},t\geq 0)}$ 为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件${\displaystyle \scriptstyle B_{0}=B_{1}=0}$ 下的维纳过程 （Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},...,B_{t_{n}})}$ 在条件 ${\displaystyle \scriptstyle B_{1}=0}$ 下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：

${\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,}$ 

${\displaystyle \forall 0\leq s<t\leq 1,\,\,cov(B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).}$ 

定义的备注

事件${\displaystyle \scriptstyle [B_{1}=0]}$  的概率为0。 考虑满足

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.}$ 

的事件 ${\displaystyle \scriptstyle [|B_{1}|<\varepsilon ]}$ ， 我们可以考察条件分布 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]}$ 。 由依分布收敛 可得：

${\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]}$ 

这给出了布朗桥的一个严格定义。

和布朗运动的关系

性质1

设${\displaystyle \scriptstyle (W_{t},t\geq 0)}$  为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程 ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)}$  :

${\displaystyle \displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}}$ 

为一个标准的布朗桥。

相互定义

设 ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)}$  为一个标准的布朗桥， Z 是一个正态随机变量，则过程 ${\displaystyle \scriptstyle (W_{t}^{1},t\geq 0)}$  et ${\displaystyle \scriptstyle (W_{t}^{2},t\geq 0)}$  :

${\displaystyle W_{t}^{1}=B_{t}+tZ}$     et    ${\displaystyle W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z}$ 

为 ${\displaystyle \scriptstyle t\in [0,1]}$  和 ${\displaystyle \scriptstyle t\in [0,T]}$  上的维纳过程。

性质 2

设 ${\displaystyle \scriptstyle (W_{t},t\geq 0)}$  为一个 维纳过程, 则过程 ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)}$  ：

${\displaystyle B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}}$ 

为一个标准布朗桥。

相互定义

设 ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)}$  为一个标准的布朗桥, 那么过程 ${\displaystyle \scriptstyle (W_{t},t\geq 0)}$ ：

${\displaystyle W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}}$ 

为一个维纳过程。

扩散形式下的表达

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 ${\displaystyle W}$  是一种标准的布朗桥，随机方程

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt}$ 

初始条件${\displaystyle X_{0}=0}$ 的解和布朗桥同分布。

事实上, ${\displaystyle X}$ 是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。

设${\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)}$  为标准的布朗桥。

性质3

设 b 为一个实数，

${\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}$ 

性质4

设 b 为一个正实数

${\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}$ 

性质 5

设a et b 为2个正实数.

${\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}$ 

性质6

设 x 为一个正实数

${\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}$ 

• 布朗运动
• 维纳过程

• Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3. 
• Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3.