Henstock–Kurzweil积分

这里只给出Henstock的定义：

区间分割与刻度

给定一个取样分割P：${\displaystyle a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b,\ \ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]}$ 和一个正函数${\displaystyle \delta \colon [a,b]\to (0,\infty )\,}$ （所谓的“刻度”），如果

${\displaystyle \forall i,\,\ \ t_{i}-\delta (t_{i})<u_{i-1}\leq t_{i}\leq u_{i}<t_{i}+\delta (t_{i}).}$ 

就称这个分割是一个δ-精细分割。^[1]

黎曼和

对一个在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 有定义的实值函数${\displaystyle f}$ ，${\displaystyle f}$ 关于取样分割P：${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$  、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ 的黎曼和定义为以下和式：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}$ 

和式中的每一项是子区间长度${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$ 与在${\displaystyle t_{i}}$ 处的函数值${\displaystyle f(t_{i})}$ 的乘积。直观地说，就是以标记点${\displaystyle t_{i}}$ 上的函数值${\displaystyle f(t_{i})}$ 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。^[1]

Henstock–Kurzweil积分

${\displaystyle S}$ 是函数${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的Henstock–Kurzweil积分，当且仅当对于任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，都存在刻度函数${\displaystyle \delta }$ ，使得对于任意的取样分割P：${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ 、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ ，只要P是δ-精细分割，就有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$ ^[1]

从定义中可以看出，Henstock–Kurzweil积分比黎曼积分更加注重区间上的取样。黎曼积分中，只将分割的小区间的最大长度作为精细度的标准。Henstock–Kurzweil积分的定义中引入“刻度”函数，并将取样值和刻度函数联系起来，定义分割的精细程度。如果将刻度函数δ设定为常值函数，那么Henstock–Kurzweil积分就退化为黎曼积分。^[1]

δ-精细分割的存在性

如果对某些刻度函数δ，δ-精细分割不存在，那么定义中“只要P是δ-精细分割，就有”一句就会变成一个前件全真的判断，从而失去应有的意义。Cousin定理（英语：Cousin's theorem）说明，对任意的刻度函数δ，必定存在δ-精细分割，杜绝了Henstock–Kurzweil积分定义逻辑上可能存在的瑕疵^[1]。

积分的唯一性

为了能够良好地定义积分，Henstock–Kurzweil积分的定义中的S必须是唯一存在的，同一个函数在同一个区间上不能有两个不同的积分值。可以证明，Henstock–Kurzweil积分如果存在就必定是唯一的。这说明Henstock–Kurzweil积分是良好定义的。^[1]

• 黎曼－斯蒂尔杰斯积分
• 广义积分
• 勒贝格积分