马尔可夫方程

不定方程 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=3x_{1}x_{2}x_{3}$ 称为马尔可夫方程（英语：Markov equation或Markoff equation）。

求解方法如下：

先凭观察找出 $(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1)$ 这组解。
方程可视为一个 $x_{3}$ 为未知数的一元二次方程。根据韦达定理，可知 $(x_{1},x_{2},3x_{1}x_{2}-x_{3})$ 　（留意 $3x_{1}x_{2}-x_{3}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{3}}}$ ）也是一个解。

这个方程有无限个解。

事实上，用这个方法由(1,1,1)开始，可以找出这方程的所有正整数数组解。

在此不定方程的解出现的正整数称为马尔可夫数（英语：Markov number），它们由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它们组成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

马尔可夫数的特性

马尔可夫方程的解

马尔可夫数可以排成一棵二叉树（如图）。

在二叉树上，和 1 的范围相邻的数（即二叉树的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契数。

和 2 的范围邻接的数（即二叉树的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数。^[1]

猜想

每个数只在树上出现一次（即没有正整数 $z$ 使得 $(a,b,z),(c,d,z)$ 都是方程的解，其中 $a,b,c,d$ 是两两相异的正整数，且 $a>b>z,c>d>z$ ）。^[2]

赫尔维茨方程

马尔可夫-赫维兹方程（英语：Markov-Hurwitz equation），是指形式如 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}...x_{n}$ 的不定方程，其中 $a,n$ 是正整数。

阿道夫·赫维兹证明了：方程有 $(0,...,0)$ 之外的解的必要条件之一是 $a\leq n$ 。^[3]

参考

^ [PlanetMath: Markov number. [2007-08-17]. （原始内容存档于2008-12-02）. （英文）
^ Tom Ace，Markoff numbers (minortriad.com) （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
^ Springer Online Reference Works: Hurwitz equation （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

[1] [PlanetMath: Markov number. [2007-08-17]. （原始内容存档于2008-12-02）. （英文）

[2] Tom Ace，Markoff numbers (minortriad.com) （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

[3] Springer Online Reference Works: Hurwitz equation （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

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