一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的多项式方程

例如, 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是:

其中,是二次项,是一次项,是常数项。是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然,在强调了是一元二次方程之后,也可以省略不写。当然,一元二次方程式有时会出现虚数根。


历史

古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年,中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程,它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言:解关于 的方程  

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即[1] ,得

 
  在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方,即 ,得
 
然后在方程的两边同时开二次方根,得
 

解法

阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据   三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的

一般来说,一元二次方程有两个解,答案需提供两个不同的数值,只要符合 的原则就可以了。

因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式 后,如果 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程 存在两个实根 ,那么它可以因式分解为 

例如,解一元二次方程 时,可将原方程左边分解成

 
所以
 
可解得
 

公式解法

对于 ,它的根可以表示为:

 
 时也写成
 

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

首先先将一元二次方程的一般形式 除以  在一元二次方程中不为零),将会得到

 
 
现在可以开始配方了。为了配方,必须要加上一个常数(在这个例子里,它是指一个不随 而变的量)到等式的左边,使等式左边有完全平方 的样子。

 时得到

 
亦即当式子的两边加上 将得到:
 
式子的左边变成了一个完全平方了。并且可以看出是 的平方。式子的右边则可以通分成一个分数,因此式子变成了:
 
接下来,对式子的两边开根号:
 
最后,式子两边同时减去 

则得公式解:

 

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数实数复数或是任意数域中适用。

公式中的根式

 
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为 的数当中任何一个”。在某些数域中,有些数值没有平方根

根的判别式

对于实系数一元二次方程  称作一元二次方程根的判别式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:

  • 如果 ,则这个一元二次方程有两个不同的实数根。如果系数都为有理数,且 是一个完全平方数,则这两个根都是有理数,否则这两个根至少有一个是无理数
  • 如果 ,则这个一元二次方程有两个相等的实数根。而且这两个根皆为
     
  • 如果 ,则这个一元二次方程有两个不同的复数根,两根互为共轭复数。这时根为
     
    其中  

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程

根与系数

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与方程中系数的关系。

 
 

图像解法

 
 ,则该函数与x轴相交(有两个交点)
 ,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点)
 ,则该函数与x轴相离(没有交点)

一元二次方程 的根的几何意义是二次函数 的图像(为一条抛物线)与 轴交点的x坐标。

 
 的解是  交点的X坐标

另外一种解法是把一元二次方程 化为  的形式。

则方程 的根,就是函数  交点的X坐标。

通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算相似,大部分情况下也是根据下面的公式去解

 
可以进行符号运算的程序,比如Mathematica,可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

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外部链接

  1. ^ [1]