古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年,中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程,它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):
- 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方根。
将其转化为数学语言:解关于 的方程
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即[1] ,得
在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方,即 ,得 然后在方程的两边同时开二次方根,得
阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据 、 、 三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般来说,一元二次方程有两个解,答案需提供两个不同的数值,只要符合 的原则就可以了。
因式分解法
把一个一元二次方程变形成一般形式 后,如果 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程 存在两个实根 ,那么它可以因式分解为 。
例如,解一元二次方程 时,可将原方程左边分解成
所以 可解得
公式解法
对于 ,它的根可以表示为:
当 时也写成
公式解的证明
公式解可以由配方法得出。
首先先将一元二次方程的一般形式 除以 ( 在一元二次方程中不为零),将会得到
即 现在可以开始配方了。为了配方,必须要加上一个常数(在这个例子里,它是指一个不随 而变的量)到等式的左边,使等式左边有完全平方 的样子。
当 时得到
亦即当式子的两边加上 将得到: 式子的左边变成了一个完全平方了。并且可以看出是 的平方。式子的右边则可以通分成一个分数,因此式子变成了: 接下来,对式子的两边开根号: 最后,式子两边同时减去
则得公式解:
一般化
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。
公式中的根式
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为 的数当中任何一个”。在某些数域中,有些数值没有平方根。
根的判别式
对于实系数一元二次方程 , 称作一元二次方程根的判别式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:
- 如果 ,则这个一元二次方程有两个不同的实数根。如果系数都为有理数,且 是一个完全平方数,则这两个根都是有理数,否则这两个根至少有一个是无理数。
- 如果 ,则这个一元二次方程有两个相等的实数根。而且这两个根皆为
- 如果 ,则这个一元二次方程有两个不同的复数根,两根互为共轭复数。这时根为
其中
非实系数一元二次方程
即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。
根与系数
根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与方程中系数的关系。
图像解法
,则该函数与x轴相交(有两个交点)
,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点)
,则该函数与x轴相离(没有交点)
一元二次方程 的根的几何意义是二次函数 的图像(为一条抛物线)与 轴交点的x坐标。
的解是
和
交点的X坐标
另外一种解法是把一元二次方程 化为 的形式。
则方程 的根,就是函数 和 交点的X坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法
在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算相似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序,比如Mathematica,可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)