历史
大约在公元前480年,古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。[b]
11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。[c]
根
二次方程 的两个根为:
解方程后,我们会得到两个根: 和 。则点 和 就是二次函数与 轴的交点。根的类型如下:
- 设 为一元二次方程式的判别式,又记作D。
- 当 ,则方程有两个不相等的根,也即与 轴有两个不重叠的交点,因为 是正数。
- 当 ,则方程有两个相等的根,也即与 轴有一个切点,因为 是零。
- 当 ,则方程没有实数根,也即与 轴没有交点,因为 是共轭复数。
设 和 ,我们可以把 因式分解为 。
二次函数的形式
二次函数可以表示成以下三种形式:
- 称为一般形式或多项式形式。
- 称为因子形式或交点式,其中 和 是二次方程的两个根, , 是抛物线与 轴的两个交点。
- 称为标准形式或顶点形式, 即为此二次函数的顶点。
把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根 和 ,或是利用十字交乘法(适用于有理数)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式变换成标准形式有特殊的方法。
代表了二次函数的对称轴,因此两根的平均数即为
- 展开后比较后可得
不通过 和 求 及 公式:
-
- (也作 )
而在三种形式中皆出现的 为此二次函数的领导系数,决定二次函数图像开口的大小与方向。
图像
- 系数 控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度,即二次函数开口方向和大小。 越大,开口越小,函数就增长得越快。
- 系数 和 控制了抛物线的对称轴(以及顶点的 坐标)。
- 系数 控制了抛物线穿过 轴时的倾斜度(导数)。
- 系数 控制了抛物线最低点或最高点的高度,它是抛物线与 轴的交点。
函数
|
图像
|
函数变化
|
对称轴
|
开口方向
|
最大(小)值
|
---|
|
|
|
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
轴 或 |
向上 |
|
|
|
|
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
轴 或 |
向下 |
|
|
|
|
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
轴 或 |
向上 |
|
|
|
|
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
轴 或 |
向下 |
|
|
|
|
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
|
向上 |
|
|
|
|
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
|
向下 |
|
x 截距
当函数与 轴有两个交点时,设这两个交点分别为 ,由根与系数的关系得出[d]: 和
-
顶点
抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为驻点。如果二次函数是标准形式,则顶点为 。用配方法,可以把一般形式 化为:
[2][3]因此在一般形式中,抛物线的顶点是:
如果二次函数是因子形式 ,则两个根的平均数 就是顶点的 坐标,因此顶点位于 时,顶点也是最大值; 时,则是最小值。
经过顶点的竖直线
又称为抛物线的对称轴。
最大值和最小值
函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数 ,寻找它的极值时,我们必须先求出它的导数:
然后,求出 的根: 因此, 是 的 值。现在,为了求出 ,我们把 代入 : 所以,最大值或最小值的坐标为:
二次函数的平方根
二次函数的平方根的图像要么是椭圆,要么是双曲线。如果 ,则方程 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 的最小值决定。如果最小值是负数,则双曲线的轴是水平的。如果是正数,则双曲线的轴是竖直的。如果 ,则方程 的图像要么是一个椭圆,要么什么也没有。如果对应的抛物线 的最大值是正数,则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数,则描述了一个空集。
二元二次函数
二元二次函数是以下形式的二次多项式:
这个函数描述了一个二次曲面。把 设为零,则描述了曲面与平面 的交线,它是一条圆锥曲线。
最小值/最大值
如果 ,则函数没有最大值或最小值,其图像是双曲抛物面。
如果 ,则当 时函数具有最小值,当 具有最大值。其图像是椭圆抛物面。
二元二次函数的最大值或最小值在点 取得,其中:
如果 且 ,则函数没有最大值或最小值,其图像是抛物柱面。
如果 且 ,则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当 时取得最大值, 时取得最小值。其图像也是抛物柱面。
注释
- ^ 注:自变量 的取值范围为任何实数
- ^ 参见婆罗摩笈多#代数
- ^ 参见花拉子米#代数
- ^ 参见韦达定理
参考资料
- ^ 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933.
- ^ 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7.
- ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. [2015-08-06]. (原始内容存档于2015-07-29). (页面存档备份,存于互联网档案馆)
参考书目