梯形公式

梯形公式数学数值积分的基础公式之一:

线性函数(红色)会作用估算函数 (蓝色)。

公式由来

积分中值定理可得

 

但由于ξ其值一般难于确定,故难以准确算出 的值。

如果用两端点  算术平均值估算 ,有

 

这就是梯形公式。

类似地,如果用区间中点 其高度 取代 ,从而有中矩形公式

 

复合求积公式

每一区间相同

 
梯形公式的示意图(长度相同的区间)。

为了计算出更加准确的定积分,可以把积分的区间 分成 份,当中 趋向无限,分割出的每一个区间长度必定要是一样的,然后就可以应用梯形公式:

 

亦可以写成:

 

当中

 

其余项为

 

当区间的长度并不相同时,这一条公式便不能使用。

每一区间并不相同

 
梯形公式的示意图(长度不相同的区间)

给予 以及 定积分就可以估算成

 ,

当中

 .

误差分析

应用梯形公式的误差值是真值数字与运用梯形公式结果的差异:

 

如果  中存在一个实数 ,那么

 

对于中矩形公式,其误差类似的有:

 

如果被积函数是一个凸函数(亦即有一个正值二阶导数),那么误差会是一个负数,也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。这可以利用一个几何图形代去表达:梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。同样地,如果被积函数是一个凹函数,梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部分面积没有被计算在内。如果被积函数中有拐点。它的错误是比较难去估计。

一般而言有数种方法可以去分析误差,例如是:傅里叶级数

 的情况下,趋向性的估计误差是:

 

参考文献

  • 《数值分析》,清华大学出版社,李庆扬等编,书号ISBN 978-7-302-18565-9