梯形公式是数学中数值积分的基础公式之一:
线性函数(红色)会作用估算
函数 (蓝色)。
公式由来
由积分中值定理可得
,
但由于ξ其值一般难于确定,故难以准确算出 的值。
如果用两端点 与 的算术平均值估算 ,有
,
这就是梯形公式。
类似地,如果用区间中点 其高度 取代 ,从而有中矩形公式
。
复合求积公式
每一区间相同
为了计算出更加准确的定积分,可以把积分的区间 分成 份,当中 趋向无限,分割出的每一个区间长度必定要是一样的,然后就可以应用梯形公式:
-
亦可以写成:
-
当中
-
其余项为
当区间的长度并不相同时,这一条公式便不能使用。
每一区间并不相同
给予 以及 ,定积分就可以估算成
- ,
当中
- .
误差分析
应用梯形公式的误差值是真值数字与运用梯形公式结果的差异:
-
如果 中存在一个实数 ,那么
-
对于中矩形公式,其误差类似的有:
如果被积函数是一个凸函数(亦即有一个正值二阶导数),那么误差会是一个负数,也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。这可以利用一个几何图形代去表达:梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。同样地,如果被积函数是一个凹函数,梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部分面积没有被计算在内。如果被积函数中有拐点。它的错误是比较难去估计。
一般而言有数种方法可以去分析误差,例如是:傅里叶级数。
在 的情况下,趋向性的估计误差是:
-
参考文献
- 《数值分析》,清华大学出版社,李庆扬等编,书号ISBN 978-7-302-18565-9