二阶导数

连续两次用一阶导数的幂法则（英语：power rule），则会推导出二阶导数的幂法则，如下所示：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}$ 

公式对任意实数 ${\displaystyle n}$  成立。

函数 ${\displaystyle f}$  的二阶导函数常记为 ${\displaystyle f''}$ ，其于 ${\displaystyle x}$  处取值为 ${\displaystyle f''(x)}$ 。^[1][2]换言之，

${\displaystyle f''=\left(f'\right)',}$ 

其中 ${\displaystyle '}$  表示一阶求导。若用莱布尼兹记法（英语：Leibniz's notation）表示导数，则因变数 ${\displaystyle y}$  关于自变数 ${\displaystyle x}$  的二阶导数记为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}$ 

此种写法的理由是，${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$  表示对 ${\displaystyle x}$  求导，从而求导两次应写成：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}$ 

其他记法

如前段所记，二阶导数标准的莱布尼兹记法为 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$ 。然而，无法视之为纯代数符号作运算。意思是，虽然看似两个微分相除组成的分数，但是无法拆分、抵销等。^{[注 1]}不过，可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则。^[3]倘若视 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$  为两微分之商，则求导时，根据商法则应有：

${\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}}$ 

上式中，${\displaystyle y''(x)}$  为二阶导数，但 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$  则不然。${\displaystyle \mathrm {d} u}$  表示微分算子施用于 ${\displaystyle u}$  的结果，即 ${\displaystyle \mathrm {d} (u)}$ ，而 ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u}$  表示微分算子迭代两次的结果，即 ${\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))}$ 。最后 ${\displaystyle \mathrm {d} u^{2}}$  是先微分再平方，即 ${\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}}$ 。

若采此写法（并依上段解读各符号含义），则二阶导数各项可以自由操作，与其他代数项作运算。例如，二阶导数的反函数公式，可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过，运算上的方便，与更换符号的不便，孰轻孰重，仍待定论。^[4]

考虑

${\displaystyle f(x)=x^{3},}$ 

运用幂法则，${\displaystyle f}$  的导数 ${\displaystyle f'}$  由下式给出：

${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.}$ 

${\displaystyle f}$  的二阶导数即是对导数 ${\displaystyle f'}$  再次求导的结果，由下式给出：

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}$ 

另一个例子，考虑正弦函数 ${\displaystyle \sin }$ 。有

${\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),}$ 

而再次求导后，得到

${\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).}$ 

换言之，正弦函数的二阶导数是自身的相反数。

凹向

函数 ${\displaystyle f}$  的二阶导数，描述其图像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。^[2]若二阶导数在某区间恒正，则函数在该区间向上凹（向上弯，又称为凸函数或下凸函数），意即其切线总位于图像下方“承托”。反之，若二阶导数在某区间恒负，则函数在该区间向下凹（向下弯，又称为凹函数或上凸函数），其切线总位于图像的上方“压制”着。

拐点

若函数的二阶导数在某点的左右异号，则图像由向上弯转变成向下弯，或反之。此种点称为拐点（inflection point）。假设二阶导数连续，则在该点处必取零值，故可用“二阶导数为零”之条件，筛选出可能的拐点。不过，二阶导数为零的点不一定是拐点，如 ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$  有 ${\displaystyle f''(0)=0}$ ，但 ${\displaystyle f}$  在实数系上为凸，无拐点。

二阶导数检验

二阶导数与凹凸性的关系，有助判断函数 ${\displaystyle f}$  的驻点（即满足 ${\displaystyle f'(x)=0}$  的点 ${\displaystyle x}$ ）是否为局部极大点或极小点。具体言之：

• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}$ ，则 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle x}$  点取得局部极大值。
• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}$ ，则 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle x}$  点取得局部极小值。
• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}$ ，则二阶导数检验无定论。该点或许是拐点，也可能是极大或极小点。

直观理解，考虑一架赛车高速前进，但正在减速（加速度为负），则当速度降至零的一刻，赛车所在位置即为自起点出发，能达到的前方最远处，因为此后速度降至负值，赛车会倒车。同样，若考虑高速后退但加速度为正的赛车，则相应得到关于极小值的结论。

二阶导数若存在，则可以衹用一个极限写出：

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$ 

以上极限称为二阶对称导数（英语：second symmetric derivative）。^[5][6]但是，有时二阶对称导数存在，则函数仍没有（平常的）二阶导数。

右侧欲求极限的分式，可理解成差商的差商：

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$ 

故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。

然而，上述极限存在并不推出函数 ${\displaystyle f}$  二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时，计算该导数的一种方法，但并非其定义。反例有符号函数 ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ，其定义为：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}}$ 

符号函数在原点不连续，从而不可导，尤其并非二阶可导。但是，在 ${\displaystyle x=0}$  处，二阶对称导数存在：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$ 

正如导数与线性近似密切相关，二阶导数也与二次近似如影随形。某函数 ${\displaystyle f}$  于某点的二次近似，是一个二次函数，与 ${\displaystyle f}$  在该点处具有一样的一、二阶导数。函数 ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle a}$  附近的二次近似可写成：

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$ 

函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式。

因为求导运算为线性，所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子，从而可以研究其谱。换言之，可求微分方程 ${\displaystyle v''=\lambda v}$  的函数解 ${\displaystyle v}$ （本征向量）与常数 ${\displaystyle \lambda }$ （本征值）。对于许多种边界条件，可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

举例，以闭区间 ${\displaystyle [0,L]}$  为定义域，边界采用齐次狄利克雷条件（即 ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ），则诸本征值为 ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ，对应本征向量（亦称本征函数）${\displaystyle v_{j}}$  由

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ 

给出。此处 ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ ，${\displaystyle j}$  为任意正整数。

其他情况的解，见二阶导数的本征值与本征向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

黑塞方阵

二阶导数的高维推广，其一是同时考虑全体二阶偏导数 ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ 。对于三元函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ，二阶偏导数包括

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$ 

以及混合偏导数

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$ 

还有其他次序的混合偏导数，如 ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$ ，但由二阶导数的对称性，衹要 ${\displaystyle f}$  满足特定条件（如二阶偏导数处处连续），则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是，各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵，称为黑塞方阵（英语：Hessian或Hessian matrix）。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验（称为二阶偏导数检验（英语：second partial derivative test））。

拉普拉斯算子

另一种常见推广，则是衹考虑对同一个变量的二阶导数，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子记作 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$  或 ${\displaystyle \Delta }$ 。以三维情形为例，定义为

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$ 

函数的拉氏算子等于梯度的散度，亦是前述黑塞方阵之迹。

• 啁啾度——某讯号瞬时相位的二阶导数（瞬时频率的一阶导数）。

纸本

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• Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5 
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网上

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