二阶导数的幂法则
连续两次用一阶导数的幂法则,则会推导出二阶导数的幂法则,如下所示:
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公式对任意实数 成立。
记法
更多信息:微分记法
函数 的二阶导函数常记为 ,其于 处取值为 。[1][2]换言之,
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其中 表示一阶求导。若用莱布尼兹记法表示导数,则因变数 关于自变数 的二阶导数记为
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此种写法的理由是, 表示对 求导,从而求导两次应写成:
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其他记法
如前段所记,二阶导数标准的莱布尼兹记法为 。然而,无法视之为纯代数符号作运算。意思是,虽然看似两个微分相除组成的分数,但是无法拆分、抵销等。[注 1]不过,可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则。[3]倘若视 为两微分之商,则求导时,根据商法则应有:
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上式中, 为二阶导数,但 则不然。 表示微分算子施用于 的结果,即 ,而 表示微分算子迭代两次的结果,即 。最后 是先微分再平方,即 。
若采此写法(并依上段解读各符号含义),则二阶导数各项可以自由操作,与其他代数项作运算。例如,二阶导数的反函数公式,可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过,运算上的方便,与更换符号的不便,孰轻孰重,仍待定论。[4]
例
考虑
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运用幂法则, 的导数 由下式给出:
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的二阶导数即是对导数 再次求导的结果,由下式给出:
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另一个例子,考虑正弦函数 。有
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而再次求导后,得到
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换言之,正弦函数的二阶导数是自身的相反数。
与图像的关系
的图像,其中
的取值范围是由
至
。当曲线向上弯时,切线为蓝色。向下弯时则为绿。于拐点(即
)处则为红。
凹向
函数 的二阶导数,描述其图像凹的方向和程度,即凹性(concavity)。[2]若二阶导数在某区间恒正,则函数在该区间向上凹(向上弯,又称为凸函数或下凸函数),意即其切线总位于图像下方“承托”。反之,若二阶导数在某区间恒负,则函数在该区间向下凹(向下弯,又称为凹函数或上凸函数),其切线总位于图像的上方“压制”着。
拐点
若函数的二阶导数在某点的左右异号,则图像由向上弯转变成向下弯,或反之。此种点称为拐点(inflection point)。假设二阶导数连续,则在该点处必取零值,故可用“二阶导数为零”之条件,筛选出可能的拐点。不过,二阶导数为零的点不一定是拐点,如 有 ,但 在实数系上为凸,无拐点。
二阶导数检验
主条目:二阶导数检验
二阶导数与凹凸性的关系,有助判断函数 的驻点(即满足 的点 )是否为局部极大点或极小点。具体言之:
- 若 ,则 于 点取得局部极大值。
- 若 ,则 于 点取得局部极小值。
- 若 ,则二阶导数检验无定论。该点或许是拐点,也可能是极大或极小点。
直观理解,考虑一架赛车高速前进,但正在减速(加速度为负),则当速度降至零的一刻,赛车所在位置即为自起点出发,能达到的前方最远处,因为此后速度降至负值,赛车会倒车。同样,若考虑高速后退但加速度为正的赛车,则相应得到关于极小值的结论。
极限
二阶导数若存在,则可以衹用一个极限写出:
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以上极限称为二阶对称导数。[5][6]但是,有时二阶对称导数存在,则函数仍没有(平常的)二阶导数。
右侧欲求极限的分式,可理解成差商的差商:
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故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。
然而,上述极限存在并不推出函数 二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时,计算该导数的一种方法,但并非其定义。反例有符号函数 ,其定义为:
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符号函数在原点不连续,从而不可导,尤其并非二阶可导。但是,在 处,二阶对称导数存在:
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二次近似
正如导数与线性近似密切相关,二阶导数也与二次近似如影随形。某函数 于某点的二次近似,是一个二次函数,与 在该点处具有一样的一、二阶导数。函数 于 附近的二次近似可写成:
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函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式。
本征值与本征函数
因为求导运算为线性,所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子,从而可以研究其谱。换言之,可求微分方程 的函数解 (本征向量)与常数 (本征值)。对于许多种边界条件,可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量。
举例,以闭区间 为定义域,边界采用齐次狄利克雷条件(即 ),则诸本征值为 ,对应本征向量(亦称本征函数) 由
-
给出。此处 , 为任意正整数。
其他情况的解,见二阶导数的本征值与本征向量。
高维推广
黑塞方阵
二阶导数的高维推广,其一是同时考虑全体二阶偏导数 。对于三元函数 ,二阶偏导数包括
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以及混合偏导数
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还有其他次序的混合偏导数,如 ,但由二阶导数的对称性,衹要 满足特定条件(如二阶偏导数处处连续),则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是,各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵,称为黑塞方阵(英语:Hessian或Hessian matrix)。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验(称为二阶偏导数检验)。
拉普拉斯算子
另一种常见推广,则是衹考虑对同一个变量的二阶导数,再求和,得到拉普拉斯算子(Laplace operator或Laplacian)。拉氏微分算子记作 或 。以三维情形为例,定义为
-
函数的拉氏算子等于梯度的散度,亦是前述黑塞方阵之迹。
参见
- 啁啾度——某讯号瞬时相位的二阶导数(瞬时频率的一阶导数)。
注
参考文献
延伸阅读
纸本
- Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen, Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable 8th, New York: Wiley, February 2, 2005, ISBN 978-0-471-47244-5
- Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1
- Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5
- Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5
- Spivak, Michael, Calculus 3rd, Publish or Perish, September 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
- Stewart, James, Calculus 5th, Brooks Cole, December 24, 2002, ISBN 978-0-534-39339-7
- Thompson, Silvanus P., Calculus Made Easy Revised, Updated, Expanded, New York: St. Martin's Press, September 8, 1998, ISBN 978-0-312-18548-0
网上
- Crowell, Benjamin, Calculus, 2003 [2021-11-28], (原始内容存档于2012-02-04)
- Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus, 2004 [2021-11-28], (原始内容存档于2012-02-05)
- Hussain, Faraz, Understanding Calculus, 2006 [2021-11-28], (原始内容存档于2019-03-26)
- Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, 2000 [2021-11-28], (原始内容存档于2011-05-01)
- Mauch, Sean, Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, 2004, (原始内容存档于2006-04-15)
- Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, 2000 [2021-11-28], (原始内容存档于2012-04-14)
- Strang, Gilbert, Calculus, 1991 [2021-11-28], (原始内容存档于2010-02-25)
- Stroyan, Keith D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, 1997, (原始内容存档于2005-09-11)
- Wikibooks, Calculus, [2021-11-28], (原始内容存档于2018-09-03)