二阶导数

微积分中,函数 二阶导数(英语:second derivativesecond order derivative)是其导数的导数。粗略而言,某量的二阶导数,描述该量的变化率本身是否变化得快。例如,物体位置对时间的二阶导数是瞬时加速度,即该物体的速度随时间的变化率。用莱布尼兹记法英语Leibniz notation

二次函数的二阶导数是常数

其中 为加速度, 为速度, 为时间, 为位置,而 表示瞬时的差值(又称“delta”值)。最后一式 是位置 对时间的二阶导数。

绘制函数图形时,二阶导数描述曲线的曲率凹凸性。若函数的二阶导数为正,则其图像是向上弯,像只杯()。反之,若其二阶导数为负,则向下弯,像顶帽()。

二阶导数的幂法则

连续两次用一阶导数的幂法则英语power rule,则会推导出二阶导数的幂法则,如下所示:

 

公式对任意实数   成立。

记法

函数   的二阶导函数常记为  ,其于   处取值为  [1][2]换言之,

 

其中   表示一阶求导。若用莱布尼兹记法英语Leibniz's notation表示导数,则因变数   关于自变数   的二阶导数记为

 

此种写法的理由是,  表示对   求导,从而求导两次应写成:

 

其他记法

前段所记,二阶导数标准的莱布尼兹记法为  。然而,无法视之为纯代数符号作运算。意思是,虽然看似两个微分相除组成的分数,但是无法拆分、抵销等。[注 1]不过,可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则[3]倘若视   为两微分之商,则求导时,根据商法则应有:

 

上式中,  为二阶导数,但   则不然。  表示微分算子施用于   的结果,即  ,而   表示微分算子迭代两次的结果,即  。最后   是先微分再平方,即  

若采此写法(并依上段解读各符号含义),则二阶导数各项可以自由操作,与其他代数项作运算。例如,二阶导数的反函数公式,可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过,运算上的方便,与更换符号的不便,孰轻孰重,仍待定论。[4]

考虑

 

运用幂法则,  的导数   由下式给出:

 

  的二阶导数即是对导数   再次求导的结果,由下式给出:

 

另一个例子,考虑正弦函数  。有

 

而再次求导后,得到

 

换言之,正弦函数的二阶导数是自身的相反数。

与图像的关系

 
  的图像,其中   的取值范围是由   。当曲线向上弯时,切线为蓝色。向下弯时则为绿。于拐点(即  )处则为红。

凹向

函数   的二阶导数,描述其图像凹的方向和程度,即凹性concavity)。[2]若二阶导数在某区间恒正,则函数在该区间向上凹(向上弯,又称为凸函数或下凸函数),意即其切线总位于图像下方“承托”。反之,若二阶导数在某区间恒负,则函数在该区间向下凹(向下弯,又称为凹函数或上凸函数),其切线总位于图像的上方“压制”着。

拐点

若函数的二阶导数在某点的左右异号,则图像由向上弯转变成向下弯,或反之。此种点称为拐点inflection point)。假设二阶导数连续,则在该点处必取零值,故可用“二阶导数为零”之条件,筛选出可能的拐点。不过,二阶导数为零的点不一定是拐点,如   ,但   在实数系上为凸,无拐点。

二阶导数检验

二阶导数与凹凸性的关系,有助判断函数  驻点(即满足   的点  )是否为局部极大点极小点。具体言之:

  •  ,则    点取得局部极大值。
  •  ,则    点取得局部极小值。
  •  ,则二阶导数检验无定论。该点或许是拐点,也可能是极大或极小点。

直观理解,考虑一架赛车高速前进,但正在减速(加速度为负),则当速度降至零的一刻,赛车所在位置即为自起点出发,能达到的前方最远处,因为此后速度降至负值,赛车会倒车。同样,若考虑高速后退但加速度为正的赛车,则相应得到关于极小值的结论。

极限

二阶导数若存在,则可以衹用一个极限写出:

 

以上极限称为二阶对称导数英语second symmetric derivative[5][6]但是,有时二阶对称导数存在,则函数仍没有(平常的)二阶导数。

右侧欲求极限的分式,可理解成差商的差商:

 

故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。

然而,上述极限存在并不推出函数   二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时,计算该导数的一种方法,但并非其定义。反例有符号函数  ,其定义为:

 

符号函数在原点不连续,从而不可导,尤其并非二阶可导。但是,在   处,二阶对称导数存在:

 

二次近似

正如导数与线性近似密切相关,二阶导数也与二次近似如影随形。某函数   于某点的二次近似,是一个二次函数,与   在该点处具有一样的一、二阶导数。函数    附近的二次近似可写成:

 

函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式

本征值与本征函数

因为求导运算为线性,所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子,从而可以研究其。换言之,可求微分方程   的函数解  本征向量)与常数  本征值)。对于许多种边界条件,可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

举例,以闭区间   为定义域,边界采用齐次狄利克雷条件(即  ),则诸本征值 ,对应本征向量(亦称本征函数 

 

给出。此处    为任意正整数。

其他情况的解,见二阶导数的本征值与本征向量英语eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

高维推广

黑塞方阵

二阶导数的高维推广,其一是同时考虑全体二阶偏导数  。对于三元函数  ,二阶偏导数包括

 

以及混合偏导数

 

还有其他次序的混合偏导数,如  ,但由二阶导数的对称性,衹要   满足特定条件(如二阶偏导数处处连续),则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是,各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵,称为黑塞方阵(英语:HessianHessian matrix)。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验(称为二阶偏导数检验英语second partial derivative test)。

拉普拉斯算子

另一种常见推广,则是衹考虑对同一个变量的二阶导数,再求和,得到拉普拉斯算子Laplace operatorLaplacian)。拉氏微分算子记作   。以三维情形为例,定义为

 

函数的拉氏算子等于梯度散度,亦是前述黑塞方阵之

参见

  • 啁啾度——某讯号瞬时相位的二阶导数(瞬时频率的一阶导数)。

  1. ^ 相对之下,一阶导数的记法可以较好地“当成”分数作代数运算,如链式法则中的抵销。

参考文献

  1. ^ Content - The second derivative [目录:二阶导数]. amsi.org.au. [2020-09-16]. (原始内容存档于2022-03-24) (英语). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ 2.0 2.1 Second Derivatives [二阶导数]. Math24. [2020-09-16] (英语). [失效链接]
  3. ^ Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh. Extending the Algebraic Manipulability of Differentials [使微分更适宜代数操作]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 2019, 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553  (英语). 
  4. ^ Editors. Reviews [评论]. Mathematics Magazine. December 20, 2019, 92 (5): 396–397. S2CID 218542586. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628 (英语). 
  5. ^ A. Zygmund. Trigonometric Series [三角级数]. Cambridge University Press. 2002: 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 (英语). 
  6. ^ Thomson, Brian S. Symmetric Properties of Real Functions [实函数的对称性质]. Marcel Dekker. 1994: 1. ISBN 0-8247-9230-0 (英语). 

延伸阅读

纸本

  • Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen, Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable 8th, New York: Wiley, February 2, 2005, ISBN 978-0-471-47244-5 
  • Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1 
  • Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5 
  • Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4 
  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5 
  • Spivak, Michael, Calculus 3rd, Publish or Perish, September 1994, ISBN 978-0-914098-89-8 
  • Stewart, James, Calculus 5th, Brooks Cole, December 24, 2002, ISBN 978-0-534-39339-7 
  • Thompson, Silvanus P., Calculus Made Easy Revised, Updated, Expanded, New York: St. Martin's Press, September 8, 1998, ISBN 978-0-312-18548-0 

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