黑塞矩阵是典型对称的
f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数;即关于不同两个变量相继之导数。
在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵;但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述,在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于f的一个充分条件使其成立。
对称性的正式表述
用符号表示,对称性说,例如
- 。
这个等式也可写成
- 。
或者,此对称性可利用微分算子Di写成一个代数论述,Di是关于xi取偏导数:
- Di . Dj = Dj . Di.
由这个关系得知由Di生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立,从而我们可取xi的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。
克莱罗定理
提示:此条目的主题不是大地测量学、地球物理学领域中的克莱罗定理。
在数学分析中,克莱罗定理(Clairaut's theorem)或施瓦兹定理(Schwarz's theorem)[1],以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名,断言如果
-
在 中任何一点 有连续二阶偏导数,则对
-
换句话说,这个函数在那一点的偏导数交换。确立这个定理的一个简单方法(当n = 2, i = 1,且j = 2,很容易推到一般)是运用格林定理求f的梯度。
克莱罗常数
这个定理的一个副产品是克莱罗常数(Clairaut's constant,亦称卡罗拉公式或克莱罗参数),涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角,或弧道路, :
-
分布理论描述
也可利用分布理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数(假设可积)可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数,这是光滑的当然满足对称性。从而,在分布的意义下,对称性总满足。(另一个方法,若定义了函数的傅立叶变换,注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子)。
对称性的要求
当函数不满足克莱洛定理的前提的时候,例如其导数不连续,则不存在对称性。
这个函数
在它的原点没有对称的二阶导数
展示非对称的一个例子如下:
-
尽管这个函数处处连续,但它的代数导函数在原点没有定义。沿着x轴的其他地方y的导数为 ,所以
- 。
反之亦然,沿着y轴的其他地方x的导数为 ,所以 。那就是说,在(0,0)处 ,尽管f的混合导数存在,且在 之外处处连续。注意到它与克莱罗定理并不矛盾,因为导数在(0,0)不连续。一般地,极限运算的交换未必交换,两个变量情形下,在(0, 0)附近考虑
-
的两个极限过程,先令h → 0以及先令k → 0。这两个过程未必交换(参见极限运算的交换):看最先作用的那个一阶项。可以构造出二阶导数的对称性不成立的病态例子。若导数作为施瓦兹分布是对称的,这类例子属于实分析中的精细理论,逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候,二阶导数值可以在任意点集中的改变,只要Lebesgue测度为 。由于在这个例子中,黑塞矩阵在 外所有点对称,Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实,不存在矛盾。
李理论
更高级的一个讨论是这样的:考虑一阶微分算子Di为欧几里得空间中的无穷小算子。即Di在某种意义下生成平行于xi-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换,从而我们希望无穷小生成元也交换;李括号
- [Di, Dj] = 0
便是其反映的方式。或者说,一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。
参考文献
- ^ James, R.C.(1966)Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth.