斜坡函数斜坡函数是一个一元(英语:Unary function)实函数,因此其图形类似斜坡,故得其名,此函数常用在工程中(例如数字信号处理)。 斜坡函数的图 目录 1 定义 2 解析性质 2.1 非零性质 2.2 导数 2.3 傅里叶变换 2.4 拉普拉斯变换 3 代数性质 3.1 迭代不变性 4 参考资料 定义 斜坡函数( R ( x ) : R → R {\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } )可以用许多的解析方式来定义。以下是一些定义: R ( x ) := { x , x ≥ 0 ; 0 , x < 0 {\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}} 或 R ( x ) := max ( x , 0 ) {\displaystyle R(x):=\operatorname {max} (x,0)} 单位阶跃函数乘以x: R ( x ) := x H ( x ) {\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)} 单位阶跃函数和其本身的卷积: R ( x ) := H ( x ) ∗ H ( x ) {\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)} 单位阶跃函数的积分: R ( x ) := ∫ − ∞ x H ( ξ ) d ξ {\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi } 麦考利括弧(英语:Macaulay brackets): R ( x ) := ⟨ x ⟩ {\displaystyle R(x):=\langle x\rangle } 解析性质 非零性质 此函数在整个定义域中的值都是非负值,因此其绝对值都是其自身。 ∀ x ∈ R : R ( x ) ⩾ 0 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0} 及 | R ( x ) | = R ( x ) {\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)} 导数 斜坡函数的导数为单位阶跃函数 R ′ ( x ) = H ( x ) i f x ≠ 0 {\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0} 傅里叶变换 F { R ( x ) } ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)} = {\displaystyle =} ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e − 2 π i f x d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx} = {\displaystyle =} i δ ′ ( f ) 4 π − 1 4 π 2 f 2 {\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}} 其中 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} 为狄拉克δ函数(在此公式中,有出现其微分项) 拉普拉斯变换 R ( x ) {\displaystyle R(x)} 单边的拉普拉斯变换定义如下: L { R ( x ) } ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s x R ( x ) d x = 1 s 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.} 代数性质 迭代不变性 斜坡函数的每个迭代函数都是其自身: R ( R ( x ) ) = R ( x ) {\displaystyle R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right)} . 证明: R ( R ( x ) ) := R ( x ) + | R ( x ) | 2 = R ( x ) + R ( x ) 2 {\displaystyle R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}} = {\displaystyle =} = {\displaystyle =} 2 R ( x ) 2 = R ( x ) {\displaystyle {\frac {2R(x)}{2}}=R(x)} .此处应用到非零性质。 参考资料 Mathworld (页面存档备份,存于互联网档案馆)